Номер 567, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 567, страница 147.

Условие.

567. a) $ \frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = 0; $

б) $ \frac{2y}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = 0; $

в) $ \left( \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} \right) \cdot \frac{x^2 - y^2}{y} = 2; $

г) $ \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} \right) \cdot \frac{x^2 - y^2}{x} = 2; $

д) $ \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} \right) \cdot (x^2 - y^2) = 2x; $

е) $ \left( \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} \right) \cdot (x^2 - y^2) = 2y. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a) Исходное уравнение: $\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x^2 - y^2 \neq 0$, $x - y \neq 0$ и $x + y \neq 0$. Все эти условия сводятся к двум: $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, чтобы привести все дроби к общему знаменателю: $$ \frac{2x}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = 0 $$ Объединим дроби, записав все под общим знаменателем: $$ \frac{2x - (x+y) - (x-y)}{(x-y)(x+y)} = 0 $$ Упростим числитель: $$ 2x - x - y - x + y = 0 $$ $$ (2x - x - x) + (-y + y) = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ В результате мы получили тождество $\frac{0}{(x-y)(x+y)} = 0$, которое верно для всех значений $x$ и $y$ из области допустимых значений.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$ и $x \neq -y$.

б) Исходное уравнение: $\frac{2y}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = 0$.
ОДЗ: $x^2 - y^2 \neq 0$, что эквивалентно $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y)$: $$ \frac{2y}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} + \frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = 0 $$ Объединим числители: $$ \frac{2y - (x+y) + (x-y)}{(x-y)(x+y)} = 0 $$ Упростим числитель: $$ 2y - x - y + x - y = 0 $$ $$ (-x + x) + (2y - y - y) = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$ и $x \neq -y$.

в) Исходное уравнение: $(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \cdot \frac{x^2 - y^2}{y} = 2$.
ОДЗ: $x - y \neq 0$, $x + y \neq 0$, $y \neq 0$. Таким образом, $x \neq y$, $x \neq -y$ и $y \neq 0$.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $(x-y)(x+y)$: $$ \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = \frac{(x+y) - (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-x+y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2y}{(x-y)(x+y)} $$ Подставим результат в исходное уравнение. Заметим, что $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ \frac{2y}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{y} = 2 $$ Сократим дроби. Так как по ОДЗ $x \neq y$, $x \neq -y$ и $y \neq 0$, мы можем сократить $(x-y)(x+y)$ и $y$: $$ \frac{2y}{1} \cdot \frac{1}{y} = 2 $$ $$ 2 = 2 $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$, $x \neq -y$ и $y \neq 0$.

г) Исходное уравнение: $(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) \cdot \frac{x^2 - y^2}{x} = 2$.
ОДЗ: $x - y \neq 0$, $x + y \neq 0$, $x \neq 0$. Таким образом, $x \neq y$, $x \neq -y$ и $x \neq 0$.
Упростим выражение в скобках: $$ \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = \frac{(x+y) + (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y+x-y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x}{(x-y)(x+y)} $$ Подставим в исходное уравнение: $$ \frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x} = 2 $$ Сократим дроби, учитывая ОДЗ ($x \neq y$, $x \neq -y$, $x \neq 0$): $$ \frac{2x}{1} \cdot \frac{1}{x} = 2 $$ $$ 2 = 2 $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$, $x \neq -y$ и $x \neq 0$.

д) Исходное уравнение: $(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) \cdot (x^2 - y^2) = 2x$.
ОДЗ: $x - y \neq 0$ и $x + y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Выражение в скобках было упрощено в пункте г): $$ \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = \frac{2x}{(x-y)(x+y)} $$ Подставим в исходное уравнение, используя $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ \frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot (x-y)(x+y) = 2x $$ Сократим дробь, учитывая ОДЗ: $$ 2x = 2x $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$ и $x \neq -y$.

е) Исходное уравнение: $(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \cdot (x^2 - y^2) = 2y$.
ОДЗ: $x - y \neq 0$ и $x + y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Выражение в скобках было упрощено в пункте в): $$ \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = \frac{2y}{(x-y)(x+y)} $$ Подставим в исходное уравнение, используя $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ \frac{2y}{(x-y)(x+y)} \cdot (x-y)(x+y) = 2y $$ Сократим дробь, учитывая ОДЗ: $$ 2y = 2y $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$ и $x \neq -y$.