Страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Доказываем. Докажите тождество (566—569):

566. а)

$(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot (x^2 - 2x + 1) = \frac{2x - 2}{x+1}$

б) $(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) \cdot (x^2 - 4x + 4) = \frac{4x - 8}{x+2}$

а)

Чтобы доказать тождество $(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot (x^2 - 2x + 1) = \frac{2x-2}{x+1}$, преобразуем его левую часть.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x-1}$ и $\frac{1}{x+1}$ равен $(x-1)(x+1)$.

$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1 - (x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1-x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}$.

Знаменатель $(x-1)(x+1)$ можно также записать как $x^2-1$ по формуле разности квадратов.

2. Заметим, что выражение $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

3. Теперь умножим результат первого действия на преобразованное выражение из второго действия:

$\frac{2}{(x-1)(x+1)} \cdot (x-1)^2 = \frac{2 \cdot (x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$. Это возможно при условии, что $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

$\frac{2 \cdot (x-1)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-1)}(x+1)} = \frac{2(x-1)}{x+1}$.

5. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2(x-1)}{x+1} = \frac{2x-2}{x+1}$.

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех допустимых значений $x$ (где $x \neq 1$ и $x \neq -1$).

Ответ: Левая часть тождества $(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}) \cdot (x^2 - 2x + 1)$ после преобразований равна $\frac{2x-2}{x+1}$, что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать тождество $(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) \cdot (x^2 - 4x + 4) = \frac{4x-8}{x+2}$, преобразуем его левую часть.

1. Выполним вычитание дробей в скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x-2}$ и $\frac{1}{x+2}$ равен $(x-2)(x+2)$.

$\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} = \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2 - (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2-x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4}{(x-2)(x+2)}$.

Знаменатель $(x-2)(x+2)$ можно также записать как $x^2-4$ по формуле разности квадратов.

2. Заметим, что выражение $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом разности: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$.

3. Теперь умножим результат первого действия на преобразованное выражение из второго действия:

$\frac{4}{(x-2)(x+2)} \cdot (x-2)^2 = \frac{4 \cdot (x-2)^2}{(x-2)(x+2)}$.

4. Сократим дробь на общий множитель $(x-2)$. Это возможно при условии, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

$\frac{4 \cdot (x-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} = \frac{4(x-2)}{x+2}$.

5. Раскроем скобки в числителе:

$\frac{4(x-2)}{x+2} = \frac{4x-8}{x+2}$.

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного равенства. Таким образом, тождество доказано для всех допустимых значений $x$ (где $x \neq 2$ и $x \neq -2$).

Ответ: Левая часть тождества $(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}) \cdot (x^2 - 4x + 4)$ после преобразований равна $\frac{4x-8}{x+2}$, что и требовалось доказать.

567. a) $ \frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = 0; $

б) $ \frac{2y}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = 0; $

в) $ \left( \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} \right) \cdot \frac{x^2 - y^2}{y} = 2; $

г) $ \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} \right) \cdot \frac{x^2 - y^2}{x} = 2; $

д) $ \left( \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} \right) \cdot (x^2 - y^2) = 2x; $

е) $ \left( \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} \right) \cdot (x^2 - y^2) = 2y. $

a) Исходное уравнение: $\frac{2x}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x^2 - y^2 \neq 0$, $x - y \neq 0$ и $x + y \neq 0$. Все эти условия сводятся к двум: $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, чтобы привести все дроби к общему знаменателю: $$ \frac{2x}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = 0 $$ Объединим дроби, записав все под общим знаменателем: $$ \frac{2x - (x+y) - (x-y)}{(x-y)(x+y)} = 0 $$ Упростим числитель: $$ 2x - x - y - x + y = 0 $$ $$ (2x - x - x) + (-y + y) = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ В результате мы получили тождество $\frac{0}{(x-y)(x+y)} = 0$, которое верно для всех значений $x$ и $y$ из области допустимых значений.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$ и $x \neq -y$.

б) Исходное уравнение: $\frac{2y}{x^2 - y^2} - \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = 0$.
ОДЗ: $x^2 - y^2 \neq 0$, что эквивалентно $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-y)(x+y)$: $$ \frac{2y}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} + \frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = 0 $$ Объединим числители: $$ \frac{2y - (x+y) + (x-y)}{(x-y)(x+y)} = 0 $$ Упростим числитель: $$ 2y - x - y + x - y = 0 $$ $$ (-x + x) + (2y - y - y) = 0 $$ $$ 0 = 0 $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$ и $x \neq -y$.

в) Исходное уравнение: $(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \cdot \frac{x^2 - y^2}{y} = 2$.
ОДЗ: $x - y \neq 0$, $x + y \neq 0$, $y \neq 0$. Таким образом, $x \neq y$, $x \neq -y$ и $y \neq 0$.
Сначала упростим выражение в скобках, приведя его к общему знаменателю $(x-y)(x+y)$: $$ \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = \frac{(x+y) - (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-x+y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2y}{(x-y)(x+y)} $$ Подставим результат в исходное уравнение. Заметим, что $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ \frac{2y}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{y} = 2 $$ Сократим дроби. Так как по ОДЗ $x \neq y$, $x \neq -y$ и $y \neq 0$, мы можем сократить $(x-y)(x+y)$ и $y$: $$ \frac{2y}{1} \cdot \frac{1}{y} = 2 $$ $$ 2 = 2 $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$, $x \neq -y$ и $y \neq 0$.

г) Исходное уравнение: $(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) \cdot \frac{x^2 - y^2}{x} = 2$.
ОДЗ: $x - y \neq 0$, $x + y \neq 0$, $x \neq 0$. Таким образом, $x \neq y$, $x \neq -y$ и $x \neq 0$.
Упростим выражение в скобках: $$ \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = \frac{(x+y) + (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y+x-y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x}{(x-y)(x+y)} $$ Подставим в исходное уравнение: $$ \frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x} = 2 $$ Сократим дроби, учитывая ОДЗ ($x \neq y$, $x \neq -y$, $x \neq 0$): $$ \frac{2x}{1} \cdot \frac{1}{x} = 2 $$ $$ 2 = 2 $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$, $x \neq -y$ и $x \neq 0$.

д) Исходное уравнение: $(\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) \cdot (x^2 - y^2) = 2x$.
ОДЗ: $x - y \neq 0$ и $x + y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Выражение в скобках было упрощено в пункте г): $$ \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = \frac{2x}{(x-y)(x+y)} $$ Подставим в исходное уравнение, используя $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ \frac{2x}{(x-y)(x+y)} \cdot (x-y)(x+y) = 2x $$ Сократим дробь, учитывая ОДЗ: $$ 2x = 2x $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$ и $x \neq -y$.

е) Исходное уравнение: $(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \cdot (x^2 - y^2) = 2y$.
ОДЗ: $x - y \neq 0$ и $x + y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.
Выражение в скобках было упрощено в пункте в): $$ \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = \frac{2y}{(x-y)(x+y)} $$ Подставим в исходное уравнение, используя $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $$ \frac{2y}{(x-y)(x+y)} \cdot (x-y)(x+y) = 2y $$ Сократим дробь, учитывая ОДЗ: $$ 2y = 2y $$ Получено тождество, верное для всех $x$ и $y$ из ОДЗ.
Ответ: все пары чисел $(x, y)$, для которых $x \neq y$ и $x \neq -y$.

568. a) $\frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(b - c)(c - a)} + \frac{1}{(a - c)(b - a)} = 0;$

б) $\frac{1}{(a - b)(a - c)} + \frac{1}{(b - a)(b - c)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} = 0;$

В) $\frac{a^4 - b^4}{((a + b)^2 - 4ab)((a - b)^2 + 4ab)((a + b)^2 - 2ab)} = \frac{1}{a^2 - b^2} \cdot$

а)

В условии данного тождества, по всей видимости, допущена опечатка. В исходном виде левая часть выражения $\frac{1}{(a - b)(b - c)} + \frac{1}{(b - c)(c - a)} + \frac{1}{(c - a)(b - a)}$ после приведения к общему знаменателю равна $\frac{2(c-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$, что не равно нулю (за исключением случая $b=c$, когда знаменатели обращаются в ноль). Наиболее вероятная форма тождества, которая часто встречается в задачах, содержит множитель $(a-b)$ в знаменателе последней дроби вместо $(b-a)$. Докажем исправленное тождество:

$\frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} = 0$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(a-b)(b-c)(c-a)$:

$\frac{c-a}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Теперь сложим числители дробей:

$\frac{(c-a)+(a-b)+(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{c-a+a-b+b-c}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0$

Левая часть равна нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество верно при условии исправления опечатки в знаменателе третьего слагаемого с $(c-a)(b-a)$ на $(c-a)(a-b)$.

б)

Преобразуем левую часть выражения $\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-a)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)}$, используя тождества $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$:

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{-(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{(a-b)(a-c)} - \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-c)(b-c)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a-c)(b-c)$:

$\frac{b-c}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{a-c}{(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Сложим числители:

$\frac{(b-c) - (a-c) + (a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{b-c-a+c+a-b}{(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{0}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 0$

Левая часть равна правой, что доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Рассмотрим левую часть тождества $\frac{a^4 - b^4}{((a+b)^2 - 4ab)((a-b)^2 + 4ab)((a+b)^2 - 2ab)}$. Сначала упростим выражение в знаменателе. Раскроем скобки в каждом из трех множителей, используя формулы сокращенного умножения:

Первый множитель: $(a+b)^2 - 4ab = a^2+2ab+b^2 - 4ab = a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

Второй множитель: $(a-b)^2 + 4ab = a^2-2ab+b^2 + 4ab = a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.

Третий множитель: $(a+b)^2 - 2ab = a^2+2ab+b^2 - 2ab = a^2+b^2$.

Следовательно, знаменатель равен произведению: $(a-b)^2 (a+b)^2 (a^2+b^2)$. Его можно сгруппировать, используя формулу разности квадратов: $((a-b)(a+b))^2 (a^2+b^2) = (a^2-b^2)^2 (a^2+b^2)$.

Теперь упростим числитель, также применив формулу разности квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$.

Подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)^2(a^2+b^2)}$

Сократим общие множители $(a^2-b^2)$ и $(a^2+b^2)$ (при условии, что они не равны нулю, т.е. $a \ne \pm b$):

$\frac{\cancel{(a^2-b^2)}\cancel{(a^2+b^2)}}{(a^2-b^2)^{\cancel{2}}\cancel{(a^2+b^2)}} = \frac{1}{a^2 - b^2}$

Полученное выражение равно правой части исходного тождества, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

569. a) $\frac{a^2 + b^2}{ab} \cdot \left( \frac{6a + b}{a^2 - b^2} : \frac{6a^3 + b^3 + a^2b + 6ab^2}{2ab^2 - 2a^2b} + \frac{a + b}{a^2 + b^2} \right) = \frac{a^2 + b^2}{ab(a + b)}$

б) $\left( \frac{x}{xy + y^2} - \frac{x^2 + y^2}{x^3 - xy^2} + \frac{y}{x^2 - xy} \right) : \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^3 + y^3} = \frac{x^2 - xy + y^2}{y(x - y)}$

В) $\left( \frac{2x^2y + 2xy^2}{7x^3 + x^2y + 7xy^2 + y^3} \cdot \frac{7x + y}{x^2 - y^2} + \frac{x - y}{x^2 + y^2} \right) \cdot (x^2 - y^2) = x + y$

Г) $\left( \frac{5}{a^2 - 2a - ax + 2x} - \frac{1}{8 - 8a + 2a^2} \cdot \frac{20 - 10a}{x - 2} \right) : \frac{25}{x^3 - 8} = \frac{x^2 + 2x + 4}{5(a - x)}$

Д) $\left( \frac{3a}{9 - 3x - 3a + ax} - \frac{1}{a^2 - 9} : \frac{x - a}{3a^2 + 9a} \right) \cdot \frac{x^3 - 27}{3a} = \frac{x^2 + 3x + 9}{a - x}$

а) Упростим выражение. Сначала выполним действия в скобках. Рассмотрим деление дробей:
$ \frac{6a+b}{a^2-b^2} : \frac{6a^3+b^3+a^2b+6ab^2}{2ab^2-2a^2b} $
Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$2ab^2-2a^2b = -2ab(a-b)$
$6a^3+b^3+a^2b+6ab^2 = (6a^3+a^2b) + (6ab^2+b^3) = a^2(6a+b) + b^2(6a+b) = (a^2+b^2)(6a+b)$
Подставим разложенные выражения и заменим деление на умножение:
$ \frac{6a+b}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{-2ab(a-b)}{(a^2+b^2)(6a+b)} = \frac{-2ab}{(a+b)(a^2+b^2)} $
Теперь выполним сложение в скобках:
$ \frac{-2ab}{(a+b)(a^2+b^2)} + \frac{a+b}{a^2+b^2} = \frac{-2ab+(a+b)^2}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{-2ab+a^2+2ab+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{a^2+b^2}{(a+b)(a^2+b^2)} = \frac{1}{a+b} $
Наконец, выполним умножение:
$ \frac{a^2+b^2}{ab} \cdot \frac{1}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $
Ответ: $ \frac{a^2+b^2}{ab(a+b)} $.

б) Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители:
$xy+y^2 = y(x+y)$
$x^3-xy^2 = x(x^2-y^2) = x(x-y)(x+y)$
$x^2-xy = x(x-y)$
Общий знаменатель: $xy(x-y)(x+y)$.
$ \frac{x}{y(x+y)} - \frac{x^2+y^2}{x(x-y)(x+y)} + \frac{y}{x(x-y)} = \frac{x \cdot x(x-y) - (x^2+y^2) \cdot y + y \cdot y(x+y)}{xy(x-y)(x+y)} = $
$ = \frac{x^3-x^2y - x^2y-y^3 + xy^2+y^3}{xy(x-y)(x+y)} = \frac{x^3-2x^2y+xy^2}{xy(x-y)(x+y)} $
Вынесем общий множитель в числителе:
$ \frac{x(x^2-2xy+y^2)}{xy(x-y)(x+y)} = \frac{x(x-y)^2}{xy(x-y)(x+y)} = \frac{x-y}{y(x+y)} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{x-y}{y(x+y)} : \frac{x^2-2xy+y^2}{x^3+y^3} $
Разложим на множители делитель: $x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$ и $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
$ \frac{x-y}{y(x+y)} \cdot \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)^2} = \frac{x^2-xy+y^2}{y(x-y)} $
Ответ: $ \frac{x^2-xy+y^2}{y(x-y)} $.

в) Сначала выполним умножение в скобках:
$ \frac{2x^2y+2xy^2}{7x^3+x^2y+7xy^2+y^3} \cdot \frac{7x+y}{x^2-y^2} $
Разложим на множители числители и знаменатели:
$2x^2y+2xy^2 = 2xy(x+y)$
$7x^3+x^2y+7xy^2+y^3 = 7x(x^2+y^2)+y(x^2+y^2) = (7x+y)(x^2+y^2)$
$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$
$ \frac{2xy(x+y)}{(7x+y)(x^2+y^2)} \cdot \frac{7x+y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2xy}{(x^2+y^2)(x-y)} $
Теперь выполним сложение в скобках:
$ \frac{2xy}{(x^2+y^2)(x-y)} + \frac{x-y}{x^2+y^2} = \frac{2xy+(x-y)^2}{(x^2+y^2)(x-y)} = \frac{2xy+x^2-2xy+y^2}{(x^2+y^2)(x-y)} = \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)(x-y)} = \frac{1}{x-y} $
Наконец, умножим результат на $(x^2-y^2)$:
$ \frac{1}{x-y} \cdot (x^2-y^2) = \frac{1}{x-y} \cdot (x-y)(x+y) = x+y $
Ответ: $ x+y $.

г) Сначала выполним умножение в скобках:
$ \frac{1}{8-8a+2a^2} \cdot \frac{20-10a}{x-2} $
Разложим на множители:
$8-8a+2a^2 = 2(4-4a+a^2) = 2(a-2)^2$
$20-10a = 10(2-a) = -10(a-2)$
$ \frac{1}{2(a-2)^2} \cdot \frac{-10(a-2)}{x-2} = \frac{-5}{(a-2)(x-2)} $
Теперь разложим знаменатель первой дроби в скобках:
$a^2-2a-ax+2x = a(a-2)-x(a-2) = (a-2)(a-x)$
Выполним вычитание в скобках:
$ \frac{5}{(a-2)(a-x)} - \frac{-5}{(a-2)(x-2)} = \frac{5}{(a-2)(a-x)} + \frac{5}{(a-2)(x-2)} = \frac{5(x-2)+5(a-x)}{(a-2)(a-x)(x-2)} = \frac{5x-10+5a-5x}{(a-2)(a-x)(x-2)} = \frac{5(a-2)}{(a-2)(a-x)(x-2)} = \frac{5}{(a-x)(x-2)} $
Теперь выполним деление:
$ \frac{5}{(a-x)(x-2)} : \frac{25}{x^3-8} $
Разложим $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$.
$ \frac{5}{(a-x)(x-2)} \cdot \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{25} = \frac{x^2+2x+4}{5(a-x)} $
Ответ: $ \frac{x^2+2x+4}{5(a-x)} $.

д) Сначала выполним деление в скобках:
$ \frac{1}{a^2-9} : \frac{x-a}{3a^2+9a} = \frac{1}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{3a(a+3)}{x-a} = \frac{3a}{(a-3)(x-a)} $
Теперь разложим знаменатель первой дроби в скобках:
$9-3x-3a+ax = 3(3-x)-a(3-x) = (3-a)(3-x) = -(a-3)(-(x-3)) = (a-3)(x-3)$
Выполним вычитание в скобках:
$ \frac{3a}{(a-3)(x-3)} - \frac{3a}{(a-3)(x-a)} = \frac{3a(x-a)-3a(x-3)}{(a-3)(x-3)(x-a)} = \frac{3ax-3a^2-3ax+9a}{(a-3)(x-3)(x-a)} = \frac{9a-3a^2}{(a-3)(x-3)(x-a)} $
Вынесем множитель в числителе: $9a-3a^2=3a(3-a)=-3a(a-3)$.
$ \frac{-3a(a-3)}{(a-3)(x-3)(x-a)} = \frac{-3a}{(x-3)(x-a)} $
Наконец, выполним умножение:
$ \frac{-3a}{(x-3)(x-a)} \cdot \frac{x^3-27}{3a} $
Разложим $x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)$.
$ \frac{-3a}{(x-3)(x-a)} \cdot \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{3a} = \frac{-(x^2+3x+9)}{x-a} = \frac{x^2+3x+9}{a-x} $
Ответ: $ \frac{x^2+3x+9}{a-x} $.