Страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

559. Найдите, если это возможно, числовые значения x, для которых значение алгебраической дроби — натуральное число:

а) $\frac{12}{x+5}$;

б) $\frac{x+2}{x}$;

в) $\frac{x+2}{x-5}$;

г) $\frac{x^2-x}{x+1}$.

Чтобы найти числовые значения $x$, при которых значение алгебраической дроби является натуральным числом, мы приравняем каждую дробь к натуральному числу $n$ (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$) и решим полученное уравнение относительно $x$. В контексте подобных задач обычно ищутся целочисленные решения для $x$.

а) $\frac{12}{x+5}$

Пусть значение дроби равно натуральному числу $n$. Тогда $\frac{12}{x+5} = n$.

Для того чтобы значение дроби было целым числом, знаменатель $x+5$ должен быть делителем числителя 12. Поскольку $n$ — натуральное число, оно положительно ($n > 0$), а значит, и знаменатель $x+5$ должен быть положительным (так как числитель $12 > 0$). Таким образом, $x+5$ должен быть натуральным делителем числа 12.

Натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Приравняем знаменатель к каждому из этих делителей, чтобы найти возможные значения $x$:

$x+5=1 \Rightarrow x=-4$ (значение дроби 12)
$x+5=2 \Rightarrow x=-3$ (значение дроби 6)
$x+5=3 \Rightarrow x=-2$ (значение дроби 4)
$x+5=4 \Rightarrow x=-1$ (значение дроби 3)
$x+5=6 \Rightarrow x=1$ (значение дроби 2)
$x+5=12 \Rightarrow x=7$ (значение дроби 1)

Все полученные значения $x$ являются целыми числами, и при них дробь принимает натуральные значения.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 1, 7.

б) $\frac{x+2}{x}$

Преобразуем данную дробь, выделив целую часть: $\frac{x+2}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$.

Пусть значение этого выражения равно натуральному числу $n$: $1 + \frac{2}{x} = n$.

Отсюда следует, что $\frac{2}{x} = n - 1$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1$ — целое неотрицательное число ($n-1 \ge 0$).

Случай $n-1=0$ (т.е. $n=1$) приводит к уравнению $\frac{2}{x}=0$, которое не имеет решений.

Значит, $n-1$ должно быть натуральным числом. Обозначим $k = n-1$, где $k \in \mathbb{N}$.

Тогда $\frac{2}{x} = k$. Чтобы $k$ было натуральным числом при целом $x$, $x$ должен быть делителем числа 2. Кроме того, так как $k > 0$, то и $x$ должен быть положительным.

Положительные делители числа 2: 1, 2.

Если $x=1$, значение дроби равно $\frac{1+2}{1} = 3$, что является натуральным числом.
Если $x=2$, значение дроби равно $\frac{2+2}{2} = 2$, что является натуральным числом.

Ответ: 1, 2.

в) $\frac{x+2}{x-5}$

Преобразуем дробь, выделив целую часть: $\frac{x+2}{x-5} = \frac{(x-5)+7}{x-5} = \frac{x-5}{x-5} + \frac{7}{x-5} = 1 + \frac{7}{x-5}$.

Пусть $1 + \frac{7}{x-5} = n$, где $n \in \mathbb{N}$.

Тогда $\frac{7}{x-5} = n-1$.

Как и в предыдущем пункте, $n-1$ не может быть равно нулю, поэтому $n-1$ должно быть натуральным числом. Обозначим $k=n-1$.

Тогда $\frac{7}{x-5} = k$, где $k \in \mathbb{N}$. Отсюда следует, что $x-5$ должен быть натуральным делителем числа 7.

Натуральные делители числа 7: 1, 7.

Если $x-5=1$, то $x=6$. Значение дроби: $\frac{6+2}{6-5} = \frac{8}{1} = 8 \in \mathbb{N}$.
Если $x-5=7$, то $x=12$. Значение дроби: $\frac{12+2}{12-5} = \frac{14}{7} = 2 \in \mathbb{N}$.

Ответ: 6, 12.

г) $\frac{x^2-x}{x+1}$

Преобразуем дробь, выделив целую часть с помощью алгебраических преобразований:

$\frac{x^2-x}{x+1} = \frac{x^2-1-x+1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)-(x+1)+2}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} + \frac{2}{x+1} = x - 1 - 1 + \frac{2}{x+1} = x - 2 + \frac{2}{x+1}$.

Пусть значение этого выражения равно натуральному числу $n$: $x - 2 + \frac{2}{x+1} = n$.

Чтобы при целом $x$ значение всего выражения было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{2}{x+1}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $x+1$ является делителем числителя 2.

Целые делители числа 2: 1, -1, 2, -2.

Рассмотрим все четыре возможных случая для $x+1$:

1. Если $x+1=1$, то $x=0$. Значение выражения: $0 - 2 + \frac{2}{1} = 0$. Это не натуральное число.
2. Если $x+1=-1$, то $x=-2$. Значение выражения: $-2 - 2 + \frac{2}{-1} = -4 - 2 = -6$. Это не натуральное число.
3. Если $x+1=2$, то $x=1$. Значение выражения: $1 - 2 + \frac{2}{2} = -1 + 1 = 0$. Это не натуральное число.
4. Если $x+1=-2$, то $x=-3$. Значение выражения: $-3 - 2 + \frac{2}{-2} = -5 - 1 = -6$. Это не натуральное число.

Во всех возможных случаях, когда $x$ является целым числом, значение дроби не является натуральным числом.

Ответ: таких значений x не существует.

Доказываем (560–561).

560. Докажите, что для любого числа $x$ верно неравенство:

а) $\frac{2}{x^2 + 6x + 11} \le 1$;

б) $\frac{4}{x^2 - 10x + 29} \le 1$;

в) $\frac{6}{x^2 + 8x + 22} \le 1$.

Определите, при каком значении $x$ левая часть неравенства равна правой.

a) Чтобы доказать неравенство $\frac{2}{x^2 + 6x + 11} \le 1$, преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат:
$x^2 + 6x + 11 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 11 = (x+3)^2 - 9 + 11 = (x+3)^2 + 2$.
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, $(x+3)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, знаменатель $x^2 + 6x + 11 = (x+3)^2 + 2 \ge 2$.
Так как знаменатель всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на $x^2 + 6x + 11$, сохранив знак неравенства:
$2 \le x^2 + 6x + 11$
$0 \le x^2 + 6x + 11 - 2$
$0 \le x^2 + 6x + 9$
$0 \le (x+3)^2$
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Равенство $\frac{2}{x^2 + 6x + 11} = 1$ достигается тогда, когда $0 = (x+3)^2$, то есть при $x+3=0$.
Ответ: равенство достигается при $x = -3$.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{4}{x^2 - 10x + 29} \le 1$, преобразуем его знаменатель, выделив полный квадрат:
$x^2 - 10x + 29 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 29 = (x-5)^2 - 25 + 29 = (x-5)^2 + 4$.
Поскольку $(x-5)^2 \ge 0$ для любого $x$, знаменатель $x^2 - 10x + 29 = (x-5)^2 + 4 \ge 4$.
Так как знаменатель всегда положителен, умножим обе части неравенства на него:
$4 \le x^2 - 10x + 29$
$0 \le x^2 - 10x + 25$
$0 \le (x-5)^2$
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Равенство $\frac{4}{x^2 - 10x + 29} = 1$ достигается тогда, когда $0 = (x-5)^2$, то есть при $x-5=0$.
Ответ: равенство достигается при $x = 5$.

в) Чтобы доказать неравенство $\frac{6}{x^2 + 8x + 22} \le 1$, преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат:
$x^2 + 8x + 22 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 22 = (x+4)^2 - 16 + 22 = (x+4)^2 + 6$.
Поскольку $(x+4)^2 \ge 0$ для любого $x$, знаменатель $x^2 + 8x + 22 = (x+4)^2 + 6 \ge 6$.
Так как знаменатель всегда положителен, умножим обе части неравенства на него:
$6 \le x^2 + 8x + 22$
$0 \le x^2 + 8x + 16$
$0 \le (x+4)^2$
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Равенство $\frac{6}{x^2 + 8x + 22} = 1$ достигается тогда, когда $0 = (x+4)^2$, то есть при $x+4=0$.
Ответ: равенство достигается при $x = -4$.

561. Докажите, что для любых чисел x и y верно неравенство:

a) $ \frac{3}{x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13} \le 1 $;

б) $ \frac{5}{x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30} \le 1 $.

Определите, при каких значениях x и y левая часть неравенства равна правой.

а) Чтобы доказать неравенство $\frac{3}{x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13} \le 1$, преобразуем его знаменатель, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.
Знаменатель: $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 13$.
Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 13$.
Дополним каждую группу до полного квадрата, используя формулы $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
Для $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$.
Для $y$: $y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат $(y+1)^2 = y^2 + 2y + 1$, нужно добавить и вычесть $1^2 = 1$.
Преобразуем выражение: $(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + 13 = (x-3)^2 + (y+1)^2 + 3$.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде: $\frac{3}{(x-3)^2 + (y+1)^2 + 3} \le 1$.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x-3)^2 \ge 0$ и $(y+1)^2 \ge 0$.
Следовательно, их сумма $(x-3)^2 + (y+1)^2 \ge 0$.
Тогда знаменатель дроби $(x-3)^2 + (y+1)^2 + 3 \ge 0 + 3 = 3$.
Знаменатель дроби всегда положителен и не меньше 3. Поскольку числитель равен 3, то вся дробь будет меньше или равна $\frac{3}{3} = 1$. Неравенство доказано.

Теперь определим, при каких значениях $x$ и $y$ левая часть неравенства равна правой, то есть $\frac{3}{(x-3)^2 + (y+1)^2 + 3} = 1$.
Это равенство выполняется тогда и только тогда, когда знаменатель равен 3:
$(x-3)^2 + (y+1)^2 + 3 = 3$
$(x-3)^2 + (y+1)^2 = 0$
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое слагаемое равно нулю:
$(x-3)^2 = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x = 3$.
$(y+1)^2 = 0 \implies y + 1 = 0 \implies y = -1$.
Следовательно, равенство достигается при $x=3$ и $y=-1$.
Ответ: равенство достигается при $x=3$ и $y=-1$.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{5}{x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30} \le 1$, так же, как и в предыдущем пункте, преобразуем знаменатель, выделив полные квадраты.
Знаменатель: $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 30$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 + 8x) + (y^2 - 6y) + 30$.
Дополним до полных квадратов:
Для $x$: $x^2 + 8x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4$. Чтобы получить $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$, нужно добавить и вычесть $4^2 = 16$.
Для $y$: $y^2 - 6y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3$. Чтобы получить $(y-3)^2 = y^2 - 6y + 9$, нужно добавить и вычесть $3^2 = 9$.
Преобразуем выражение: $(x^2 + 8x + 16) - 16 + (y^2 - 6y + 9) - 9 + 30 = (x+4)^2 + (y-3)^2 + 5$.
Исходное неравенство принимает вид: $\frac{5}{(x+4)^2 + (y-3)^2 + 5} \le 1$.
Поскольку $(x+4)^2 \ge 0$ и $(y-3)^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, их сумма также неотрицательна: $(x+4)^2 + (y-3)^2 \ge 0$.
Значит, знаменатель $(x+4)^2 + (y-3)^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$.
Так как знаменатель всегда больше или равен 5, а числитель равен 5, то значение дроби не превышает $\frac{5}{5} = 1$. Неравенство доказано.

Определим, при каких значениях $x$ и $y$ достигается равенство: $\frac{5}{(x+4)^2 + (y-3)^2 + 5} = 1$.
Равенство имеет место, когда знаменатель равен 5:
$(x+4)^2 + (y-3)^2 + 5 = 5$
$(x+4)^2 + (y-3)^2 = 0$
Это возможно только если оба слагаемых равны нулю:
$(x+4)^2 = 0 \implies x + 4 = 0 \implies x = -4$.
$(y-3)^2 = 0 \implies y - 3 = 0 \implies y = 3$.
Таким образом, равенство достигается при $x=-4$ и $y=3$.
Ответ: равенство достигается при $x=-4$ и $y=3$.