Номер 559, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 559, страница 144.

Условие.

559. Найдите, если это возможно, числовые значения x, для которых значение алгебраической дроби — натуральное число:

а) $\frac{12}{x+5}$;

б) $\frac{x+2}{x}$;

в) $\frac{x+2}{x-5}$;

г) $\frac{x^2-x}{x+1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Чтобы найти числовые значения $x$, при которых значение алгебраической дроби является натуральным числом, мы приравняем каждую дробь к натуральному числу $n$ (т.е. $n \in \{1, 2, 3, ...\}$) и решим полученное уравнение относительно $x$. В контексте подобных задач обычно ищутся целочисленные решения для $x$.

а) $\frac{12}{x+5}$

Пусть значение дроби равно натуральному числу $n$. Тогда $\frac{12}{x+5} = n$.

Для того чтобы значение дроби было целым числом, знаменатель $x+5$ должен быть делителем числителя 12. Поскольку $n$ — натуральное число, оно положительно ($n > 0$), а значит, и знаменатель $x+5$ должен быть положительным (так как числитель $12 > 0$). Таким образом, $x+5$ должен быть натуральным делителем числа 12.

Натуральные делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Приравняем знаменатель к каждому из этих делителей, чтобы найти возможные значения $x$:

$x+5=1 \Rightarrow x=-4$ (значение дроби 12)
$x+5=2 \Rightarrow x=-3$ (значение дроби 6)
$x+5=3 \Rightarrow x=-2$ (значение дроби 4)
$x+5=4 \Rightarrow x=-1$ (значение дроби 3)
$x+5=6 \Rightarrow x=1$ (значение дроби 2)
$x+5=12 \Rightarrow x=7$ (значение дроби 1)

Все полученные значения $x$ являются целыми числами, и при них дробь принимает натуральные значения.

Ответ: -4, -3, -2, -1, 1, 7.

б) $\frac{x+2}{x}$

Преобразуем данную дробь, выделив целую часть: $\frac{x+2}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$.

Пусть значение этого выражения равно натуральному числу $n$: $1 + \frac{2}{x} = n$.

Отсюда следует, что $\frac{2}{x} = n - 1$.

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $n-1$ — целое неотрицательное число ($n-1 \ge 0$).

Случай $n-1=0$ (т.е. $n=1$) приводит к уравнению $\frac{2}{x}=0$, которое не имеет решений.

Значит, $n-1$ должно быть натуральным числом. Обозначим $k = n-1$, где $k \in \mathbb{N}$.

Тогда $\frac{2}{x} = k$. Чтобы $k$ было натуральным числом при целом $x$, $x$ должен быть делителем числа 2. Кроме того, так как $k > 0$, то и $x$ должен быть положительным.

Положительные делители числа 2: 1, 2.

Если $x=1$, значение дроби равно $\frac{1+2}{1} = 3$, что является натуральным числом.
Если $x=2$, значение дроби равно $\frac{2+2}{2} = 2$, что является натуральным числом.

Ответ: 1, 2.

в) $\frac{x+2}{x-5}$

Преобразуем дробь, выделив целую часть: $\frac{x+2}{x-5} = \frac{(x-5)+7}{x-5} = \frac{x-5}{x-5} + \frac{7}{x-5} = 1 + \frac{7}{x-5}$.

Пусть $1 + \frac{7}{x-5} = n$, где $n \in \mathbb{N}$.

Тогда $\frac{7}{x-5} = n-1$.

Как и в предыдущем пункте, $n-1$ не может быть равно нулю, поэтому $n-1$ должно быть натуральным числом. Обозначим $k=n-1$.

Тогда $\frac{7}{x-5} = k$, где $k \in \mathbb{N}$. Отсюда следует, что $x-5$ должен быть натуральным делителем числа 7.

Натуральные делители числа 7: 1, 7.

Если $x-5=1$, то $x=6$. Значение дроби: $\frac{6+2}{6-5} = \frac{8}{1} = 8 \in \mathbb{N}$.
Если $x-5=7$, то $x=12$. Значение дроби: $\frac{12+2}{12-5} = \frac{14}{7} = 2 \in \mathbb{N}$.

Ответ: 6, 12.

г) $\frac{x^2-x}{x+1}$

Преобразуем дробь, выделив целую часть с помощью алгебраических преобразований:

$\frac{x^2-x}{x+1} = \frac{x^2-1-x+1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)-(x+1)+2}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} - \frac{x+1}{x+1} + \frac{2}{x+1} = x - 1 - 1 + \frac{2}{x+1} = x - 2 + \frac{2}{x+1}$.

Пусть значение этого выражения равно натуральному числу $n$: $x - 2 + \frac{2}{x+1} = n$.

Чтобы при целом $x$ значение всего выражения было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{2}{x+1}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $x+1$ является делителем числителя 2.

Целые делители числа 2: 1, -1, 2, -2.

Рассмотрим все четыре возможных случая для $x+1$:

1. Если $x+1=1$, то $x=0$. Значение выражения: $0 - 2 + \frac{2}{1} = 0$. Это не натуральное число.
2. Если $x+1=-1$, то $x=-2$. Значение выражения: $-2 - 2 + \frac{2}{-1} = -4 - 2 = -6$. Это не натуральное число.
3. Если $x+1=2$, то $x=1$. Значение выражения: $1 - 2 + \frac{2}{2} = -1 + 1 = 0$. Это не натуральное число.
4. Если $x+1=-2$, то $x=-3$. Значение выражения: $-3 - 2 + \frac{2}{-2} = -5 - 1 = -6$. Это не натуральное число.

Во всех возможных случаях, когда $x$ является целым числом, значение дроби не является натуральным числом.

Ответ: таких значений x не существует.