Номер 564, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 564, страница 146.

Условие.

564. Приведите пример верного равенства двух выражений относительно $x$, левая часть которого определена для всех $x$, отличных от $0$ и $1$, а правая — для всех $x$, отличных от $0$. Является ли это равенство тождеством?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для выполнения условий задачи нам нужно составить равенство двух выражений, области определения которых различаются. Левая часть должна быть не определена при $x=0$ и $x=1$, а правая — только при $x=0$.

Чтобы левая часть была не определена в точках $0$ и $1$, ее знаменатель должен обращаться в ноль при этих значениях $x$. Для этого знаменатель должен содержать множители $x$ и $(x-1)$. Простейший пример такого знаменателя — $x(x-1)$.

Чтобы правая часть была не определена только в точке $0$, ее знаменатель должен обращаться в ноль только при $x=0$. Простейший пример такого знаменателя — $x$.

Теперь составим верное равенство. Мы можем взять выражение, которое можно сократить, изменив при этом его область определения. Рассмотрим следующее равенство:

$ \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} $

Проверим условия:

1. Левая часть: $ \frac{x-1}{x(x-1)} $. Знаменатель $x(x-1)$ равен нулю, если $x=0$ или $x=1$. Следовательно, левая часть определена для всех $x$, отличных от $0$ и $1$. Условие выполнено.

2. Правая часть: $ \frac{1}{x} $. Знаменатель $x$ равен нулю, если $x=0$. Следовательно, правая часть определена для всех $x$, отличных от $0$. Условие выполнено.

Таким образом, пример верного равенства, удовлетворяющего условиям, найден.

Теперь ответим на вопрос, является ли это равенство тождеством.

Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Область допустимых значений (ОДЗ) для равенства — это множество всех значений переменной, при которых обе его части имеют смысл (определены).

Найдем ОДЗ для нашего равенства $ \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} $. Левая часть определена при $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Правая часть определена при $x \neq 0$. Общая область определения, где имеют смысл обе части, — это пересечение этих условий, то есть все $x$, при которых $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Проверим, выполняется ли равенство для всех $x$ из ОДЗ. Для любого $x$ такого, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$, мы можем сократить дробь в левой части на множитель $(x-1)$, поскольку он не равен нулю. В результате сокращения левая часть становится равной $ \frac{1}{x} $, что совпадает с правой частью.

Поскольку равенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений, оно по определению является тождеством. Различие в областях определения левой и правой частей не мешает равенству быть тождеством, так как тождественность проверяется на их общей области определения.

Ответ: Пример равенства: $ \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} $. Да, это равенство является тождеством, так как оно верно для всех допустимых значений переменной $x$ (то есть для всех $x$, кроме $0$ и $1$).