Номер 558, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 558, страница 143.

Условие.

Исследуем (558–559).

558. При каких целых значениях $x$ значение дроби:

а) $\frac{3}{x}$; б) $\frac{3x+5}{x+1}$; в) $\frac{5}{x}$; г) $\frac{3}{x-1}$; д) $\frac{x+2}{x+1}$; е) $\frac{4x+9}{x+2}$

является целым числом?

Решение.

а) Только при $x = 1, -1, 3, -3$ значение дроби $\frac{3}{x}$ целое число.

б) Так как $\frac{3x+5}{x+1} = \frac{3(x+1)+2}{x+1} = \frac{3(x+1)}{x+1} + \frac{2}{x+1} = 3 + \frac{2}{x+1}$, то значение выражения целое только при $x = -3, -2, 0, 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы дробь $\frac{3}{x}$ принимала целые значения при целых $x$, необходимо, чтобы знаменатель $x$ был целым делителем числителя, то есть числа 3. Целыми делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$.
Ответ: $x \in \{-3, -1, 1, 3\}$.

б) Преобразуем выражение, выделив в дроби $\frac{3x+5}{x+1}$ целую часть. Для этого в числителе выделим слагаемое, кратное знаменателю:
$\frac{3x+5}{x+1} = \frac{3x+3+2}{x+1} = \frac{3(x+1)+2}{x+1} = \frac{3(x+1)}{x+1} + \frac{2}{x+1} = 3 + \frac{2}{x+1}$.
Исходное выражение будет принимать целые значения, если дробь $\frac{2}{x+1}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $x+1$ является целым делителем числа 2. Делителями числа 2 являются $1, -1, 2, -2$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) $x+1 = 1 \implies x = 0$
2) $x+1 = -1 \implies x = -2$
3) $x+1 = 2 \implies x = 1$
4) $x+1 = -2 \implies x = -3$
Ответ: $x \in \{-3, -2, 0, 1\}$.

в) Чтобы дробь $\frac{5}{x}$ была целым числом, ее знаменатель $x$ должен быть целым делителем числа 5. Целыми делителями числа 5 являются $1, -1, 5, -5$.
Ответ: $x \in \{-5, -1, 1, 5\}$.

г) Чтобы дробь $\frac{3}{x-1}$ была целым числом, ее знаменатель $x-1$ должен быть целым делителем числа 3. Делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) $x-1 = 1 \implies x = 2$
2) $x-1 = -1 \implies x = 0$
3) $x-1 = 3 \implies x = 4$
4) $x-1 = -3 \implies x = -2$
Ответ: $x \in \{-2, 0, 2, 4\}$.

д) Преобразуем выражение, выделив в дроби $\frac{x+2}{x+1}$ целую часть:
$\frac{x+2}{x+1} = \frac{x+1+1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1}$.
Выражение будет принимать целые значения, если дробь $\frac{1}{x+1}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $x+1$ является целым делителем числа 1. Делителями числа 1 являются $1, -1$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) $x+1 = 1 \implies x = 0$
2) $x+1 = -1 \implies x = -2$
Ответ: $x \in \{-2, 0\}$.

е) Преобразуем выражение, выделив в дроби $\frac{4x+9}{x+2}$ целую часть:
$\frac{4x+9}{x+2} = \frac{4x+8+1}{x+2} = \frac{4(x+2)+1}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} + \frac{1}{x+2} = 4 + \frac{1}{x+2}$.
Выражение будет принимать целые значения, если дробь $\frac{1}{x+2}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $x+2$ является целым делителем числа 1. Делителями числа 1 являются $1, -1$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) $x+2 = 1 \implies x = -1$
2) $x+2 = -1 \implies x = -3$
Ответ: $x \in \{-3, -1\}$.