Номер 553, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 553, страница 143.

Условие.

553. При каких значениях букв определено выражение:

а) $\frac{3}{x^2}$;

б) $\frac{x}{x^2 + y^2}$;

в) $\frac{xy - c}{m^2 - n^2}$;

г) $\frac{ab + c}{p^2 - q^2}$;

д) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} + \frac{b}{a}$;

е) $\frac{xy - 5}{x + y} \cdot \frac{x - y}{xy}$;

ж) $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a - b}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Выражение $\frac{3}{x^2}$ является дробью. Алгебраическая дробь определена тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x^2$.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 = 0$

$x = 0$

Следовательно, выражение определено при всех значениях $x$, кроме $x=0$.

Ответ: при $x \neq 0$.

б)

Знаменатель дроби $\frac{x}{x^2 + y^2}$ не должен быть равен нулю. Запишем условие:

$x^2 + y^2 \neq 0$

Выражения $x^2$ и $y^2$ всегда неотрицательны (т.е. больше или равны нулю) для любых действительных чисел $x$ и $y$. Их сумма $x^2 + y^2$ будет равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

$x^2 = 0 \implies x = 0$

$y^2 = 0 \implies y = 0$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $x=0$ и $y=0$ одновременно. Во всех остальных случаях выражение определено.

Ответ: при всех значениях $x$ и $y$, кроме случая, когда $x=0$ и $y=0$ одновременно.

в)

Знаменатель дроби $\frac{xy - c}{m^2 - n^2}$ не должен быть равен нулю. Запишем условие:

$m^2 - n^2 \neq 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(m-n)(m+n) \neq 0$

Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю. Значит, должны выполняться два условия:

$m - n \neq 0 \implies m \neq n$

$m + n \neq 0 \implies m \neq -n$

Это можно записать в более компактном виде как $m \neq \pm n$.

Ответ: при $m \neq n$ и $m \neq -n$.

г)

Знаменатель дроби $\frac{ab + c}{p^2 - q^2}$ не должен быть равен нулю. Условие аналогично предыдущему пункту:

$p^2 - q^2 \neq 0$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(p-q)(p+q) \neq 0$

Это означает, что оба множителя не должны быть равны нулю:

$p - q \neq 0 \implies p \neq q$

$p + q \neq 0 \implies p \neq -q$

Выражение определено при $p \neq \pm q$.

Ответ: при $p \neq q$ и $p \neq -q$.

д)

Данное выражение является суммой двух дробей: $\frac{a+b}{a^2-b^2}$ и $\frac{b}{a}$. Оно определено, когда знаменатели обеих дробей не равны нулю.

1. Для первой дроби: $a^2 - b^2 \neq 0$. Это, как и в предыдущих пунктах, означает, что $a \neq b$ и $a \neq -b$.

2. Для второй дроби: $a \neq 0$.

Чтобы все выражение было определено, должны выполняться все три условия одновременно.

Ответ: при $a \neq 0$, $a \neq b$ и $a \neq -b$.

е)

Выражение является разностью двух дробей: $\frac{xy-5}{x+y}$ и $\frac{x-y}{xy}$. Оно определено, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.

1. Знаменатель первой дроби: $x+y \neq 0$, то есть $x \neq -y$.

2. Знаменатель второй дроби: $xy \neq 0$. Произведение двух чисел не равно нулю, если ни одно из них не равно нулю. То есть, $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Объединяем все условия для определения выражения.

Ответ: при $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq -y$.

ж)

Это сложное выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a-b}$. Выражение определено, когда все его знаменатели не равны нулю.

1. Знаменатель основной (большой) дроби: $a-b \neq 0 \implies a \neq b$.

2. В числителе основной дроби находятся еще две дроби: $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$. Их знаменатели также не должны быть равны нулю.

Из дроби $\frac{1}{a}$ следует условие $a \neq 0$.

Из дроби $\frac{1}{b}$ следует условие $b \neq 0$.

Таким образом, для того чтобы выражение было определено, должны выполняться все три условия.

Ответ: при $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $a \neq b$.