Номер 560, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 560, страница 144.

Условие.

Доказываем (560–561).

560. Докажите, что для любого числа $x$ верно неравенство:

а) $\frac{2}{x^2 + 6x + 11} \le 1$;

б) $\frac{4}{x^2 - 10x + 29} \le 1$;

в) $\frac{6}{x^2 + 8x + 22} \le 1$.

Определите, при каком значении $x$ левая часть неравенства равна правой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

a) Чтобы доказать неравенство $\frac{2}{x^2 + 6x + 11} \le 1$, преобразуем знаменатель дроби, выделив полный квадрат:
$x^2 + 6x + 11 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + 11 = (x+3)^2 - 9 + 11 = (x+3)^2 + 2$.
Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, $(x+3)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, знаменатель $x^2 + 6x + 11 = (x+3)^2 + 2 \ge 2$.
Так как знаменатель всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на $x^2 + 6x + 11$, сохранив знак неравенства:
$2 \le x^2 + 6x + 11$
$0 \le x^2 + 6x + 11 - 2$
$0 \le x^2 + 6x + 9$
$0 \le (x+3)^2$
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Равенство $\frac{2}{x^2 + 6x + 11} = 1$ достигается тогда, когда $0 = (x+3)^2$, то есть при $x+3=0$.
Ответ: равенство достигается при $x = -3$.

б) Чтобы доказать неравенство $\frac{4}{x^2 - 10x + 29} \le 1$, преобразуем его знаменатель, выделив полный квадрат:
$x^2 - 10x + 29 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - 5^2 + 29 = (x-5)^2 - 25 + 29 = (x-5)^2 + 4$.
Поскольку $(x-5)^2 \ge 0$ для любого $x$, знаменатель $x^2 - 10x + 29 = (x-5)^2 + 4 \ge 4$.
Так как знаменатель всегда положителен, умножим обе части неравенства на него:
$4 \le x^2 - 10x + 29$
$0 \le x^2 - 10x + 25$
$0 \le (x-5)^2$
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Равенство $\frac{4}{x^2 - 10x + 29} = 1$ достигается тогда, когда $0 = (x-5)^2$, то есть при $x-5=0$.
Ответ: равенство достигается при $x = 5$.

в) Чтобы доказать неравенство $\frac{6}{x^2 + 8x + 22} \le 1$, преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат:
$x^2 + 8x + 22 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 22 = (x+4)^2 - 16 + 22 = (x+4)^2 + 6$.
Поскольку $(x+4)^2 \ge 0$ для любого $x$, знаменатель $x^2 + 8x + 22 = (x+4)^2 + 6 \ge 6$.
Так как знаменатель всегда положителен, умножим обе части неравенства на него:
$6 \le x^2 + 8x + 22$
$0 \le x^2 + 8x + 16$
$0 \le (x+4)^2$
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Равенство $\frac{6}{x^2 + 8x + 22} = 1$ достигается тогда, когда $0 = (x+4)^2$, то есть при $x+4=0$.
Ответ: равенство достигается при $x = -4$.