Номер 565, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.6. Тождественное равенство рациональных выражений. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 565, страница 146.

Условие.

565. При каких значениях букв определены обе части равенства:

а) $a + b = b + a$

б) $ab + ac = a(b + c)$

в) $\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

г) $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$

д) $\frac{(x+y)^2}{x+y} = x+y$

е) $x - y = \frac{x^2 - y^2}{x+y}$

ж) $\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = m$

з) $m^2 - m + 1 = \frac{m^3 + 1}{m+1}$

и) $\frac{a+b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a-b}$

к) $\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$?

Являются ли эти равенства тождествами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $a + b = b + a$
Обе части равенства являются суммами, которые определены для любых значений переменных.
Равенство является тождеством, так как оно выражает переместительный закон сложения.
Ответ: Равенство определено при любых значениях $a$ и $b$. Да, является тождеством.

б) $ab + ac = a(b + c)$
Обе части равенства состоят из операций сложения и умножения, которые определены для любых значений переменных.
Равенство является тождеством, так как оно выражает распределительный закон умножения относительно сложения. Если раскрыть скобки в правой части, получим левую часть: $a(b + c) = ab + ac$.
Ответ: Равенство определено при любых значениях $a, b$ и $c$. Да, является тождеством.

в) $\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$
В обеих частях равенства присутствует деление на переменную $b$. Выражение определено, если знаменатель не равен нулю, то есть $b \neq 0$. Переменная $a$ может принимать любые значения.
Преобразуем правую часть: $\frac{1}{b} \cdot a = \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{b}$. Правая часть равна левой, следовательно, это тождество.
Ответ: Равенство определено при $b \neq 0$ и любом $a$. Да, является тождеством.

г) $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$
В левой части знаменатель $ab \neq 0$, что означает $a \neq 0$ и $b \neq 0$. В правой части также присутствуют знаменатели $a$ и $b$, поэтому $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Таким образом, обе части определены при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Согласно правилу умножения дробей, $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot 1}{a \cdot b} = \frac{1}{ab}$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Да, является тождеством.

д) $\frac{(x + y)^2}{x + y} = x + y$
В левой части есть знаменатель $x+y$, который не должен быть равен нулю. Следовательно, $x+y \neq 0$, или $x \neq -y$. Правая часть определена для любых $x$ и $y$. Область определения всего равенства: $x \neq -y$.
При $x+y \neq 0$ мы можем сократить дробь в левой части: $\frac{(x+y)(x+y)}{x+y} = x+y$. Равенство верно на области определения.
Ответ: Равенство определено при $x + y \neq 0$. Да, является тождеством.

е) $x - y = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$
В правой части есть знаменатель $x+y$, который не должен быть равен нулю. Следовательно, $x+y \neq 0$, или $x \neq -y$. Левая часть определена для любых $x$ и $y$. Область определения всего равенства: $x \neq -y$.
Преобразуем правую часть, используя формулу разности квадратов: $\frac{x^2 - y^2}{x + y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x+y}$. При $x+y \neq 0$ можно сократить дробь, получив $x-y$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при $x + y \neq 0$. Да, является тождеством.

ж) $\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = m$
Знаменатель в левой части $m^2+1$. Так как $m^2 \ge 0$ для любого действительного $m$, то $m^2+1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому обе части равенства определены при любых значениях $m$.
Преобразуем левую часть: $\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = \frac{m(m^2+1)}{m^2+1} = m$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при любых значениях $m$. Да, является тождеством.

з) $m^2 - m + 1 = \frac{m^3 + 1}{m + 1}$
В правой части есть знаменатель $m+1$, который не должен быть равен нулю. Следовательно, $m+1 \neq 0$, или $m \neq -1$. Левая часть определена для любых $m$. Область определения всего равенства: $m \neq -1$.
Преобразуем правую часть, используя формулу суммы кубов: $\frac{m^3 + 1}{m + 1} = \frac{(m+1)(m^2-m+1)}{m+1}$. При $m+1 \neq 0$ можно сократить дробь, получив $m^2-m+1$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при $m \neq -1$. Да, является тождеством.

и) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a - b}$
Знаменатель в левой части $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Он не должен быть равен нулю, значит $a-b \neq 0$ и $a+b \neq 0$, то есть $a \neq b$ и $a \neq -b$. В правой части знаменатель $a-b \neq 0$. Общая область определения: $a \neq b$ и $a \neq -b$.
Преобразуем левую часть: $\frac{a + b}{a^2 - b^2} = \frac{a+b}{(a-b)(a+b)}$. При $a+b \neq 0$ сокращаем дробь и получаем $\frac{1}{a-b}$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при $a \neq b$ и $a \neq -b$. Да, является тождеством.

к) $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$
В левой части знаменатели $a-b$ и $a+b$, значит $a \neq b$ и $a \neq -b$. В правой части знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, что дает те же условия. Область определения: $a \neq b$ и $a \neq -b$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$\frac{a(a+b) - b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab-ba+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$. Левая часть равна правой, следовательно, это тождество.
Ответ: Равенство определено при $a \neq b$ и $a \neq -b$. Да, является тождеством.