Страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

562. Какое равенство двух рациональных выражений называют тождеством?

Равенство двух рациональных выражений называют тождеством, если оно обращается в верное числовое равенство при всех допустимых значениях переменных, входящих в его состав.

Подробное объяснение:

1. Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Оно может быть представлено в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, причем $Q$ не является нулевым многочленом.
2. Допустимые значения переменных — это все те значения, при которых рациональное выражение имеет смысл. Для рациональных дробей это означает, что их знаменатели не должны обращаться в нуль. Множество всех допустимых значений переменных называется областью определения выражения или областью допустимых значений (ОДЗ).
3. Тождество — это равенство, которое истинно для любых значений переменных из общей области определения для левой и правой частей равенства.

Таким образом, если у нас есть равенство двух рациональных выражений $A = B$, оно будет тождеством, если для любого набора значений переменных, при котором и $A$, и $B$ определены (имеют смысл), значения выражений $A$ и $B$ совпадают.

Пример тождества:

Равенство $\frac{a^2 - 9}{a - 3} = a + 3$ является тождеством.

Область допустимых значений для левой части — все числа, кроме $a = 3$ (так как при $a=3$ знаменатель обращается в ноль). Правая часть определена для любого значения $a$. Общая область определения для обеих частей — все $a \neq 3$.

Проверим, выполняется ли равенство для любого $a$ из этой области. Преобразуем левую часть:
$\frac{a^2 - 9}{a - 3} = \frac{(a-3)(a+3)}{a-3}$

Поскольку $a \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(a-3)$, получив $a+3$.

Таким образом, при всех $a \neq 3$ левая часть равна правой, значит, это тождество.

Пример равенства, не являющегося тождеством (уравнение):

Равенство $\frac{x}{5} = 2$ не является тождеством. Оно верно только при одном значении переменной: $x=10$. Для всех остальных значений $x$ (например, $x=5$) оно неверно.

Ответ: Тождеством называют равенство двух рациональных выражений, которое выполняется при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

563. Приведите пример верного равенства для многочленов относительно $x$. Является ли это равенство тождеством?

Приведите пример верного равенства для многочленов относительно x.

Чтобы привести пример такого равенства, необходимо понимать, что "верное равенство" может означать как тождество (равенство, верное при любых значениях переменной), так и уравнение (равенство, верное лишь при определенных значениях переменной). Вопрос подразумевает пример равенства, которое является верным, но не для всех $x$. Таким образом, нам нужно составить уравнение.

Возьмем в качестве примера следующее равенство:

$5x + 2 = 12$

В левой части этого равенства находится многочлен первой степени $5x + 2$. В правой части — многочлен нулевой степени (константа) $12$.

Это равенство является верным, поскольку оно обращается в истинное числовое равенство при определенном значении $x$. Найдем это значение, решив уравнение:

$5x = 12 - 2$

$5x = 10$

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

При $x=2$ равенство становится верным: $5 \cdot 2 + 2 = 10 + 2 = 12$. Так как $12 = 12$, мы показали, что это верное равенство.

Является ли это равенство тождеством?

Тождество — это равенство, которое выполняется при любых значениях входящих в него переменных.

Наше равенство $5x + 2 = 12$ выполняется только при $x=2$. Чтобы доказать, что оно не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение $x$, при котором оно неверно.

Возьмем, к примеру, $x = 1$:

Подставим $x=1$ в левую часть равенства: $5 \cdot 1 + 2 = 5 + 2 = 7$.

Правая часть равенства равна $12$.

Поскольку $7 \neq 12$, равенство не выполняется при $x=1$.

Вывод: так как равенство $5x + 2 = 12$ верно не для всех значений переменной $x$, оно не является тождеством. Это условное равенство, или уравнение.

Ответ: Пример верного равенства для многочленов: $5x + 2 = 12$. Это равенство является верным, так как имеет корень $x=2$. Оно не является тождеством, поскольку не выполняется для всех значений переменной $x$ (например, неверно при $x=1$).

564. Приведите пример верного равенства двух выражений относительно $x$, левая часть которого определена для всех $x$, отличных от $0$ и $1$, а правая — для всех $x$, отличных от $0$. Является ли это равенство тождеством?

Для выполнения условий задачи нам нужно составить равенство двух выражений, области определения которых различаются. Левая часть должна быть не определена при $x=0$ и $x=1$, а правая — только при $x=0$.

Чтобы левая часть была не определена в точках $0$ и $1$, ее знаменатель должен обращаться в ноль при этих значениях $x$. Для этого знаменатель должен содержать множители $x$ и $(x-1)$. Простейший пример такого знаменателя — $x(x-1)$.

Чтобы правая часть была не определена только в точке $0$, ее знаменатель должен обращаться в ноль только при $x=0$. Простейший пример такого знаменателя — $x$.

Теперь составим верное равенство. Мы можем взять выражение, которое можно сократить, изменив при этом его область определения. Рассмотрим следующее равенство:

$ \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} $

Проверим условия:

1. Левая часть: $ \frac{x-1}{x(x-1)} $. Знаменатель $x(x-1)$ равен нулю, если $x=0$ или $x=1$. Следовательно, левая часть определена для всех $x$, отличных от $0$ и $1$. Условие выполнено.

2. Правая часть: $ \frac{1}{x} $. Знаменатель $x$ равен нулю, если $x=0$. Следовательно, правая часть определена для всех $x$, отличных от $0$. Условие выполнено.

Таким образом, пример верного равенства, удовлетворяющего условиям, найден.

Теперь ответим на вопрос, является ли это равенство тождеством.

Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Область допустимых значений (ОДЗ) для равенства — это множество всех значений переменной, при которых обе его части имеют смысл (определены).

Найдем ОДЗ для нашего равенства $ \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} $. Левая часть определена при $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Правая часть определена при $x \neq 0$. Общая область определения, где имеют смысл обе части, — это пересечение этих условий, то есть все $x$, при которых $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Проверим, выполняется ли равенство для всех $x$ из ОДЗ. Для любого $x$ такого, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$, мы можем сократить дробь в левой части на множитель $(x-1)$, поскольку он не равен нулю. В результате сокращения левая часть становится равной $ \frac{1}{x} $, что совпадает с правой частью.

Поскольку равенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений, оно по определению является тождеством. Различие в областях определения левой и правой частей не мешает равенству быть тождеством, так как тождественность проверяется на их общей области определения.

Ответ: Пример равенства: $ \frac{x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} $. Да, это равенство является тождеством, так как оно верно для всех допустимых значений переменной $x$ (то есть для всех $x$, кроме $0$ и $1$).

565. При каких значениях букв определены обе части равенства:

а) $a + b = b + a$

б) $ab + ac = a(b + c)$

в) $\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

г) $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$

д) $\frac{(x+y)^2}{x+y} = x+y$

е) $x - y = \frac{x^2 - y^2}{x+y}$

ж) $\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = m$

з) $m^2 - m + 1 = \frac{m^3 + 1}{m+1}$

и) $\frac{a+b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a-b}$

к) $\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$?

Являются ли эти равенства тождествами?

а) $a + b = b + a$
Обе части равенства являются суммами, которые определены для любых значений переменных.
Равенство является тождеством, так как оно выражает переместительный закон сложения.
Ответ: Равенство определено при любых значениях $a$ и $b$. Да, является тождеством.

б) $ab + ac = a(b + c)$
Обе части равенства состоят из операций сложения и умножения, которые определены для любых значений переменных.
Равенство является тождеством, так как оно выражает распределительный закон умножения относительно сложения. Если раскрыть скобки в правой части, получим левую часть: $a(b + c) = ab + ac$.
Ответ: Равенство определено при любых значениях $a, b$ и $c$. Да, является тождеством.

в) $\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$
В обеих частях равенства присутствует деление на переменную $b$. Выражение определено, если знаменатель не равен нулю, то есть $b \neq 0$. Переменная $a$ может принимать любые значения.
Преобразуем правую часть: $\frac{1}{b} \cdot a = \frac{1}{b} \cdot \frac{a}{1} = \frac{a}{b}$. Правая часть равна левой, следовательно, это тождество.
Ответ: Равенство определено при $b \neq 0$ и любом $a$. Да, является тождеством.

г) $\frac{1}{ab} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b}$
В левой части знаменатель $ab \neq 0$, что означает $a \neq 0$ и $b \neq 0$. В правой части также присутствуют знаменатели $a$ и $b$, поэтому $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Таким образом, обе части определены при $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Согласно правилу умножения дробей, $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot 1}{a \cdot b} = \frac{1}{ab}$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при $a \neq 0$ и $b \neq 0$. Да, является тождеством.

д) $\frac{(x + y)^2}{x + y} = x + y$
В левой части есть знаменатель $x+y$, который не должен быть равен нулю. Следовательно, $x+y \neq 0$, или $x \neq -y$. Правая часть определена для любых $x$ и $y$. Область определения всего равенства: $x \neq -y$.
При $x+y \neq 0$ мы можем сократить дробь в левой части: $\frac{(x+y)(x+y)}{x+y} = x+y$. Равенство верно на области определения.
Ответ: Равенство определено при $x + y \neq 0$. Да, является тождеством.

е) $x - y = \frac{x^2 - y^2}{x + y}$
В правой части есть знаменатель $x+y$, который не должен быть равен нулю. Следовательно, $x+y \neq 0$, или $x \neq -y$. Левая часть определена для любых $x$ и $y$. Область определения всего равенства: $x \neq -y$.
Преобразуем правую часть, используя формулу разности квадратов: $\frac{x^2 - y^2}{x + y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x+y}$. При $x+y \neq 0$ можно сократить дробь, получив $x-y$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при $x + y \neq 0$. Да, является тождеством.

ж) $\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = m$
Знаменатель в левой части $m^2+1$. Так как $m^2 \ge 0$ для любого действительного $m$, то $m^2+1 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю. Поэтому обе части равенства определены при любых значениях $m$.
Преобразуем левую часть: $\frac{m^3 + m}{m^2 + 1} = \frac{m(m^2+1)}{m^2+1} = m$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при любых значениях $m$. Да, является тождеством.

з) $m^2 - m + 1 = \frac{m^3 + 1}{m + 1}$
В правой части есть знаменатель $m+1$, который не должен быть равен нулю. Следовательно, $m+1 \neq 0$, или $m \neq -1$. Левая часть определена для любых $m$. Область определения всего равенства: $m \neq -1$.
Преобразуем правую часть, используя формулу суммы кубов: $\frac{m^3 + 1}{m + 1} = \frac{(m+1)(m^2-m+1)}{m+1}$. При $m+1 \neq 0$ можно сократить дробь, получив $m^2-m+1$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при $m \neq -1$. Да, является тождеством.

и) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} = \frac{1}{a - b}$
Знаменатель в левой части $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Он не должен быть равен нулю, значит $a-b \neq 0$ и $a+b \neq 0$, то есть $a \neq b$ и $a \neq -b$. В правой части знаменатель $a-b \neq 0$. Общая область определения: $a \neq b$ и $a \neq -b$.
Преобразуем левую часть: $\frac{a + b}{a^2 - b^2} = \frac{a+b}{(a-b)(a+b)}$. При $a+b \neq 0$ сокращаем дробь и получаем $\frac{1}{a-b}$. Равенство верно.
Ответ: Равенство определено при $a \neq b$ и $a \neq -b$. Да, является тождеством.

к) $\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$
В левой части знаменатели $a-b$ и $a+b$, значит $a \neq b$ и $a \neq -b$. В правой части знаменатель $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, что дает те же условия. Область определения: $a \neq b$ и $a \neq -b$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$\frac{a(a+b) - b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab-ba+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$. Левая часть равна правой, следовательно, это тождество.
Ответ: Равенство определено при $a \neq b$ и $a \neq -b$. Да, является тождеством.