Страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

553. При каких значениях букв определено выражение:

а) $\frac{3}{x^2}$;

б) $\frac{x}{x^2 + y^2}$;

в) $\frac{xy - c}{m^2 - n^2}$;

г) $\frac{ab + c}{p^2 - q^2}$;

д) $\frac{a + b}{a^2 - b^2} + \frac{b}{a}$;

е) $\frac{xy - 5}{x + y} \cdot \frac{x - y}{xy}$;

ж) $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a - b}$?

а)

Выражение $\frac{3}{x^2}$ является дробью. Алгебраическая дробь определена тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x^2$.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 = 0$

$x = 0$

Следовательно, выражение определено при всех значениях $x$, кроме $x=0$.

Ответ: при $x \neq 0$.

б)

Знаменатель дроби $\frac{x}{x^2 + y^2}$ не должен быть равен нулю. Запишем условие:

$x^2 + y^2 \neq 0$

Выражения $x^2$ и $y^2$ всегда неотрицательны (т.е. больше или равны нулю) для любых действительных чисел $x$ и $y$. Их сумма $x^2 + y^2$ будет равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю.

$x^2 = 0 \implies x = 0$

$y^2 = 0 \implies y = 0$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $x=0$ и $y=0$ одновременно. Во всех остальных случаях выражение определено.

Ответ: при всех значениях $x$ и $y$, кроме случая, когда $x=0$ и $y=0$ одновременно.

в)

Знаменатель дроби $\frac{xy - c}{m^2 - n^2}$ не должен быть равен нулю. Запишем условие:

$m^2 - n^2 \neq 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(m-n)(m+n) \neq 0$

Произведение не равно нулю тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю. Значит, должны выполняться два условия:

$m - n \neq 0 \implies m \neq n$

$m + n \neq 0 \implies m \neq -n$

Это можно записать в более компактном виде как $m \neq \pm n$.

Ответ: при $m \neq n$ и $m \neq -n$.

г)

Знаменатель дроби $\frac{ab + c}{p^2 - q^2}$ не должен быть равен нулю. Условие аналогично предыдущему пункту:

$p^2 - q^2 \neq 0$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(p-q)(p+q) \neq 0$

Это означает, что оба множителя не должны быть равны нулю:

$p - q \neq 0 \implies p \neq q$

$p + q \neq 0 \implies p \neq -q$

Выражение определено при $p \neq \pm q$.

Ответ: при $p \neq q$ и $p \neq -q$.

д)

Данное выражение является суммой двух дробей: $\frac{a+b}{a^2-b^2}$ и $\frac{b}{a}$. Оно определено, когда знаменатели обеих дробей не равны нулю.

1. Для первой дроби: $a^2 - b^2 \neq 0$. Это, как и в предыдущих пунктах, означает, что $a \neq b$ и $a \neq -b$.

2. Для второй дроби: $a \neq 0$.

Чтобы все выражение было определено, должны выполняться все три условия одновременно.

Ответ: при $a \neq 0$, $a \neq b$ и $a \neq -b$.

е)

Выражение является разностью двух дробей: $\frac{xy-5}{x+y}$ и $\frac{x-y}{xy}$. Оно определено, если знаменатели обеих дробей не равны нулю.

1. Знаменатель первой дроби: $x+y \neq 0$, то есть $x \neq -y$.

2. Знаменатель второй дроби: $xy \neq 0$. Произведение двух чисел не равно нулю, если ни одно из них не равно нулю. То есть, $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Объединяем все условия для определения выражения.

Ответ: при $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq -y$.

ж)

Это сложное выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{a-b}$. Выражение определено, когда все его знаменатели не равны нулю.

1. Знаменатель основной (большой) дроби: $a-b \neq 0 \implies a \neq b$.

2. В числителе основной дроби находятся еще две дроби: $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$. Их знаменатели также не должны быть равны нулю.

Из дроби $\frac{1}{a}$ следует условие $a \neq 0$.

Из дроби $\frac{1}{b}$ следует условие $b \neq 0$.

Таким образом, для того чтобы выражение было определено, должны выполняться все три условия.

Ответ: при $a \neq 0$, $b \neq 0$ и $a \neq b$.

554. Какие из данных алгебраических дробей ни при каких числовых значениях $x$ не принимают целых значений:

$\frac{1}{x}$, $\frac{1 - x}{1 + x}$, $\frac{1}{x^2 + 4}$, $\frac{9}{x^3 - 1}$?

Для того чтобы определить, какие из данных дробей ни при каких числовых значениях x не принимают целых значений, необходимо проанализировать каждую дробь.

$\frac{1}{x}$

Эта дробь может принимать целые значения. Чтобы значение дроби было равно целому числу k (где $k \neq 0$), необходимо, чтобы $x = \frac{1}{k}$. Например, если $x = 1$, то значение дроби $\frac{1}{1} = 1$. Если $x = 0.5$, то значение дроби $\frac{1}{0.5} = 2$. Так как существуют значения x, при которых дробь принимает целые значения, она нам не подходит.

Ответ: может принимать целые значения.

$\frac{1-x}{1+x}$

Чтобы проанализировать эту дробь, выделим в ней целую часть: $\frac{1-x}{1+x} = \frac{-(x-1)}{1+x} = \frac{-(x+1-2)}{1+x} = \frac{-(x+1)}{1+x} + \frac{2}{1+x} = -1 + \frac{2}{1+x}$.
Чтобы значение этого выражения было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{2}{1+x}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $(1+x)$ является делителем числителя 2. Делители числа 2: $\pm1, \pm2$.
Например, если $1+x = 1$, то $x=0$. При $x=0$ значение дроби равно $\frac{1-0}{1+0} = 1$, что является целым числом. Следовательно, эта дробь также может принимать целые значения.

Ответ: может принимать целые значения.

$\frac{1}{x^2+4}$

Рассмотрим знаменатель этой дроби: $x^2+4$. Для любого действительного числа x, выражение $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $x^2+4 \ge 0+4$, то есть $x^2+4 \ge 4$.
Поскольку знаменатель дроби всегда больше или равен 4, то вся дробь будет положительной и не будет превышать $\frac{1}{4}$. Таким образом, для любого x выполняется неравенство: $0 < \frac{1}{x^2+4} \le \frac{1}{4}$.
В интервале $(0, \frac{1}{4}]$ нет ни одного целого числа. Это означает, что данная дробь ни при каких значениях x не может принимать целые значения.

Ответ: ни при каких значениях x не принимает целых значений.

$\frac{9}{x^3-1}$

Эта дробь будет принимать целое значение, если ее знаменатель $(x^3-1)$ является целым делителем числителя 9. Делители числа 9 это: $\pm1, \pm3, \pm9$.
Например, если знаменатель $x^3-1$ равен -1, то $x^3 = 0$, и $x=0$. При $x=0$ значение дроби равно $\frac{9}{0^3-1} = \frac{9}{-1} = -9$, что является целым числом. Следовательно, эта дробь может принимать целые значения.

Ответ: может принимать целые значения.

555. При каких числовых значениях букв данные дроби равны нулю и при каких не определены:

$\frac{3x}{x-2}$; $\frac{m-38}{m}$; $\frac{2p-8}{p-3}$; $\frac{a+13}{2-3a}$?

Для решения задачи необходимо рассмотреть два условия для каждой дроби: когда дробь равна нулю и когда она не определена.

• Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
• Дробь не определена (не имеет смысла), если ее знаменатель равен нулю.

$\frac{3x}{x-2}$

Дробь равна нулю, когда числитель $3x = 0$, что дает $x=0$. При этом значении знаменатель $x - 2 = 0 - 2 = -2$, что не равно нулю. Следовательно, условие выполняется.
Дробь не определена, когда знаменатель $x - 2 = 0$, что дает $x=2$.

Ответ: дробь равна нулю при $x = 0$; не определена при $x = 2$.

$\frac{m-38}{m}$

Дробь равна нулю, когда числитель $m - 38 = 0$, что дает $m=38$. При этом значении знаменатель $m = 38$, что не равно нулю. Следовательно, условие выполняется.
Дробь не определена, когда знаменатель $m = 0$.

Ответ: дробь равна нулю при $m = 38$; не определена при $m = 0$.

$\frac{2p-8}{p-3}$

Дробь равна нулю, когда числитель $2p - 8 = 0$. Решая уравнение, получаем $2p=8$, то есть $p=4$. При этом значении знаменатель $p - 3 = 4 - 3 = 1$, что не равно нулю. Следовательно, условие выполняется.
Дробь не определена, когда знаменатель $p - 3 = 0$, что дает $p=3$.

Ответ: дробь равна нулю при $p = 4$; не определена при $p = 3$.

$\frac{a+13}{2-3a}$

Дробь равна нулю, когда числитель $a + 13 = 0$, что дает $a=-13$. При этом значении знаменатель $2 - 3a = 2 - 3(-13) = 2 + 39 = 41$, что не равно нулю. Следовательно, условие выполняется.
Дробь не определена, когда знаменатель $2 - 3a = 0$. Решая уравнение, получаем $3a=2$, то есть $a=\frac{2}{3}$.

Ответ: дробь равна нулю при $a = -13$; не определена при $a = \frac{2}{3}$.

556. Вычислите значение выражения:

а) $\frac{a+b}{a^2-b^2} + a + \frac{b}{a}$ при $a = 3, b = 4;$

б) $\frac{ab}{a^2+b^2} - a^2$ при $a = -3, b = 4;$

в) $\frac{xy-5}{x+y} \cdot \frac{x+y}{x-y}$ при $x = 0, y = -3.$

а) Дано выражение $\frac{a+b}{a^2-b^2} + a + \frac{b}{a}$ при $a = 3, b = 4$.
Для начала упростим выражение. Знаменатель первой дроби $a^2 - b^2$ — это формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Подставим это в первую дробь и сократим: $\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} = \frac{1}{a-b}$.
После упрощения выражение принимает вид: $\frac{1}{a-b} + a + \frac{b}{a}$.
Теперь подставим числовые значения $a = 3$ и $b = 4$:
$\frac{1}{3-4} + 3 + \frac{4}{3} = \frac{1}{-1} + 3 + \frac{4}{3} = -1 + 3 + \frac{4}{3} = 2 + \frac{4}{3}$.
Чтобы сложить целое число и дробь, приведем их к общему знаменателю:
$2 + \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6+4}{3} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

б) Дано выражение $\frac{ab}{a^2+b^2} - a^2$ при $a = -3, b = 4$.
Упростить это выражение нельзя, поэтому сразу подставим значения переменных $a = -3$ и $b = 4$:
$\frac{(-3) \cdot 4}{(-3)^2 + 4^2} - (-3)^2$.
Выполним вычисления по порядку:
1. Произведение в числителе: $(-3) \cdot 4 = -12$.
2. Квадраты в знаменателе и в вычитаемом: $(-3)^2 = 9$ и $4^2 = 16$.
Подставляем полученные значения обратно в выражение:
$\frac{-12}{9 + 16} - 9 = \frac{-12}{25} - 9$.
Приводим к общему знаменателю 25:
$\frac{-12}{25} - \frac{9 \cdot 25}{25} = \frac{-12}{25} - \frac{225}{25} = \frac{-12 - 225}{25} = -\frac{237}{25}$.
Ответ: $-\frac{237}{25}$.

в) Дано выражение $\frac{xy-5}{x+y} \cdot \frac{x+y}{x-y}$ при $x = 0, y = -3$.
Перед подстановкой значений можно упростить выражение. Заметим, что мно

557. Упростите выражение и вычислите его значение:

а) $ \frac{3m^2 + 6mn + 3n^2}{6n^2 - 6m^2} $ при $ m = 0,5, n = \frac{2}{3}; $

б) $ \frac{2c^2 - 2b^2}{4b^2 - 8bc + 4c^2} $ при $ b = 0,25, c = \frac{1}{3}; $

в) $ \frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right) $ при $ x = 0,35, y = 7,65; $

г) $ \frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} + \frac{10x}{(5 - x)^3} $ при $ x = 5,125. $

а)

Сначала упростим выражение $\frac{3m^2 + 6mn + 3n^2}{6n^2 - 6m^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем за скобки общий множитель 3 и используем формулу квадрата суммы:
$3m^2 + 6mn + 3n^2 = 3(m^2 + 2mn + n^2) = 3(m+n)^2$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 6 и используем формулу разности квадратов:
$6n^2 - 6m^2 = 6(n^2 - m^2) = 6(n-m)(n+m)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{3(m+n)^2}{6(n-m)(n+m)}$
Сократим дробь на общий множитель $3(m+n)$ (при условии, что $m+n \neq 0$):
$\frac{3(m+n)(m+n)}{6(n-m)(m+n)} = \frac{m+n}{2(n-m)}$.
Теперь подставим значения $m = 0,5 = \frac{1}{2}$ и $n = \frac{2}{3}$ в упрощенное выражение:
$\frac{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{2(\frac{2}{3} - \frac{1}{2})} = \frac{\frac{3+4}{6}}{2(\frac{4-3}{6})} = \frac{\frac{7}{6}}{2 \cdot \frac{1}{6}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{6}} = \frac{7}{6} \cdot \frac{6}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5.

б)

Упростим выражение $\frac{2c^2 - 2b^2}{4b^2 - 8bc + 4c^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем 2 за скобки и применим формулу разности квадратов:
$2c^2 - 2b^2 = 2(c^2 - b^2) = 2(c-b)(c+b)$.
В знаменателе вынесем 4 за скобки и применим формулу квадрата разности:
$4b^2 - 8bc + 4c^2 = 4(b^2 - 2bc + c^2) = 4(b-c)^2 = 4(c-b)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{2(c-b)(c+b)}{4(c-b)^2}$
Сократим дробь на $2(c-b)$ (при условии, что $c-b \neq 0$):
$\frac{c+b}{2(c-b)}$.
Теперь подставим значения $b = 0,25 = \frac{1}{4}$ и $c = \frac{1}{3}$:
$\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{2(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{\frac{4+3}{12}}{2(\frac{4-3}{12})} = \frac{\frac{7}{12}}{2 \cdot \frac{1}{12}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{2}{12}} = \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5.

в)

Упростим выражение $\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left(\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2}\right)$.
Сначала выполним действие в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата суммы:
$\frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(x+y)^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y-x)(y+x)^2$:
$\frac{y+x}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$.
Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{4xy}{y^2 - x^2} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}$.
Сократим общие множители $2y$, $(y-x)$ и $(y+x)$ (при условии, что $y \neq 0, y \neq x, y \neq -x$):
$\frac{2x \cdot 1}{1} \cdot \frac{1 \cdot (y+x)}{1} = 2x(y+x)$.
Подставим значения $x = 0,35$ и $y = 7,65$ в упрощенное выражение:
$2 \cdot 0,35 \cdot (7,65 + 0,35) = 2 \cdot 0,35 \cdot 8 = 0,7 \cdot 8 = 5,6$.
Ответ: 5,6.

г)

Упростим выражение $\frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} + \frac{10x}{(5 - x)^3}$.
Заметим, что $(5-x)^3 = (-(x-5))^3 = (-1)^3(x-5)^3 = -(x-5)^3$.
Перепишем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя в числитель:
$\frac{10x}{(5-x)^3} = \frac{10x}{-(x-5)^3} = -\frac{10x}{(x-5)^3}$.
Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{x^2 + 25}{(x - 5)^3} - \frac{10x}{(x - 5)^3} = \frac{x^2 - 10x + 25}{(x-5)^3}$.
Числитель является полным квадратом разности: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.
Подставим его обратно в дробь:
$\frac{(x-5)^2}{(x-5)^3}$.
Сократим дробь на $(x-5)^2$ (при условии, что $x-5 \neq 0$):
$\frac{1}{x-5}$.
Подставим значение $x = 5,125$ в упрощенное выражение:
$\frac{1}{5,125 - 5} = \frac{1}{0,125}$.
Так как $0,125 = \frac{1}{8}$, то:
$\frac{1}{1/8} = 8$.
Ответ: 8.

Исследуем (558–559).

558. При каких целых значениях $x$ значение дроби:

а) $\frac{3}{x}$; б) $\frac{3x+5}{x+1}$; в) $\frac{5}{x}$; г) $\frac{3}{x-1}$; д) $\frac{x+2}{x+1}$; е) $\frac{4x+9}{x+2}$

является целым числом?

Решение.

а) Только при $x = 1, -1, 3, -3$ значение дроби $\frac{3}{x}$ целое число.

б) Так как $\frac{3x+5}{x+1} = \frac{3(x+1)+2}{x+1} = \frac{3(x+1)}{x+1} + \frac{2}{x+1} = 3 + \frac{2}{x+1}$, то значение выражения целое только при $x = -3, -2, 0, 1.$

а) Чтобы дробь $\frac{3}{x}$ принимала целые значения при целых $x$, необходимо, чтобы знаменатель $x$ был целым делителем числителя, то есть числа 3. Целыми делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$.
Ответ: $x \in \{-3, -1, 1, 3\}$.

б) Преобразуем выражение, выделив в дроби $\frac{3x+5}{x+1}$ целую часть. Для этого в числителе выделим слагаемое, кратное знаменателю:
$\frac{3x+5}{x+1} = \frac{3x+3+2}{x+1} = \frac{3(x+1)+2}{x+1} = \frac{3(x+1)}{x+1} + \frac{2}{x+1} = 3 + \frac{2}{x+1}$.
Исходное выражение будет принимать целые значения, если дробь $\frac{2}{x+1}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $x+1$ является целым делителем числа 2. Делителями числа 2 являются $1, -1, 2, -2$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) $x+1 = 1 \implies x = 0$
2) $x+1 = -1 \implies x = -2$
3) $x+1 = 2 \implies x = 1$
4) $x+1 = -2 \implies x = -3$
Ответ: $x \in \{-3, -2, 0, 1\}$.

в) Чтобы дробь $\frac{5}{x}$ была целым числом, ее знаменатель $x$ должен быть целым делителем числа 5. Целыми делителями числа 5 являются $1, -1, 5, -5$.
Ответ: $x \in \{-5, -1, 1, 5\}$.

г) Чтобы дробь $\frac{3}{x-1}$ была целым числом, ее знаменатель $x-1$ должен быть целым делителем числа 3. Делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) $x-1 = 1 \implies x = 2$
2) $x-1 = -1 \implies x = 0$
3) $x-1 = 3 \implies x = 4$
4) $x-1 = -3 \implies x = -2$
Ответ: $x \in \{-2, 0, 2, 4\}$.

д) Преобразуем выражение, выделив в дроби $\frac{x+2}{x+1}$ целую часть:
$\frac{x+2}{x+1} = \frac{x+1+1}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{1}{x+1} = 1 + \frac{1}{x+1}$.
Выражение будет принимать целые значения, если дробь $\frac{1}{x+1}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $x+1$ является целым делителем числа 1. Делителями числа 1 являются $1, -1$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) $x+1 = 1 \implies x = 0$
2) $x+1 = -1 \implies x = -2$
Ответ: $x \in \{-2, 0\}$.

е) Преобразуем выражение, выделив в дроби $\frac{4x+9}{x+2}$ целую часть:
$\frac{4x+9}{x+2} = \frac{4x+8+1}{x+2} = \frac{4(x+2)+1}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} + \frac{1}{x+2} = 4 + \frac{1}{x+2}$.
Выражение будет принимать целые значения, если дробь $\frac{1}{x+2}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $x+2$ является целым делителем числа 1. Делителями числа 1 являются $1, -1$.
Рассмотрим все возможные случаи:
1) $x+2 = 1 \implies x = -1$
2) $x+2 = -1 \implies x = -3$
Ответ: $x \in \{-3, -1\}$.