Номер 554, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 554, страница 143.

Условие.

554. Какие из данных алгебраических дробей ни при каких числовых значениях $x$ не принимают целых значений:

$\frac{1}{x}$, $\frac{1 - x}{1 + x}$, $\frac{1}{x^2 + 4}$, $\frac{9}{x^3 - 1}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для того чтобы определить, какие из данных дробей ни при каких числовых значениях x не принимают целых значений, необходимо проанализировать каждую дробь.

$\frac{1}{x}$

Эта дробь может принимать целые значения. Чтобы значение дроби было равно целому числу k (где $k \neq 0$), необходимо, чтобы $x = \frac{1}{k}$. Например, если $x = 1$, то значение дроби $\frac{1}{1} = 1$. Если $x = 0.5$, то значение дроби $\frac{1}{0.5} = 2$. Так как существуют значения x, при которых дробь принимает целые значения, она нам не подходит.

Ответ: может принимать целые значения.

$\frac{1-x}{1+x}$

Чтобы проанализировать эту дробь, выделим в ней целую часть: $\frac{1-x}{1+x} = \frac{-(x-1)}{1+x} = \frac{-(x+1-2)}{1+x} = \frac{-(x+1)}{1+x} + \frac{2}{1+x} = -1 + \frac{2}{1+x}$.
Чтобы значение этого выражения было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{2}{1+x}$ была целым числом. Это возможно, если знаменатель $(1+x)$ является делителем числителя 2. Делители числа 2: $\pm1, \pm2$.
Например, если $1+x = 1$, то $x=0$. При $x=0$ значение дроби равно $\frac{1-0}{1+0} = 1$, что является целым числом. Следовательно, эта дробь также может принимать целые значения.

Ответ: может принимать целые значения.

$\frac{1}{x^2+4}$

Рассмотрим знаменатель этой дроби: $x^2+4$. Для любого действительного числа x, выражение $x^2$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $x^2+4 \ge 0+4$, то есть $x^2+4 \ge 4$.
Поскольку знаменатель дроби всегда больше или равен 4, то вся дробь будет положительной и не будет превышать $\frac{1}{4}$. Таким образом, для любого x выполняется неравенство: $0 < \frac{1}{x^2+4} \le \frac{1}{4}$.
В интервале $(0, \frac{1}{4}]$ нет ни одного целого числа. Это означает, что данная дробь ни при каких значениях x не может принимать целые значения.

Ответ: ни при каких значениях x не принимает целых значений.

$\frac{9}{x^3-1}$

Эта дробь будет принимать целое значение, если ее знаменатель $(x^3-1)$ является целым делителем числителя 9. Делители числа 9 это: $\pm1, \pm3, \pm9$.
Например, если знаменатель $x^3-1$ равен -1, то $x^3 = 0$, и $x=0$. При $x=0$ значение дроби равно $\frac{9}{0^3-1} = \frac{9}{-1} = -9$, что является целым числом. Следовательно, эта дробь может принимать целые значения.

Ответ: может принимать целые значения.