Номер 549, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.5. Числовое значение рационального выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 549, страница 142.

Условие.

549. Упростив рациональное выражение, найдите его значение:

а) $(\frac{a^2}{a+1} - \frac{a^3}{a^2+2a+1}) : (\frac{a}{a+1} - \frac{a^2}{a^2-1})$ при $a = -3;$

б) $(\frac{n-1}{n+1} - \frac{n+1}{n-1}) \cdot (\frac{1}{2} - \frac{n}{4} - \frac{1}{4n})$ при $n = 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Дано выражение: $(\frac{a^2}{a+1} - \frac{a^3}{a^2+2a+1}) : (\frac{a}{a+1} - \frac{a^2}{a^2-1})$ при $a = -3$.

Сначала упростим выражение в каждой скобке.

1. Упростим первую скобку. Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $a^2+2a+1 = (a+1)^2$.
$\frac{a^2}{a+1} - \frac{a^3}{(a+1)^2}$
Приводим дроби к общему знаменателю $(a+1)^2$:
$\frac{a^2(a+1)}{(a+1)^2} - \frac{a^3}{(a+1)^2} = \frac{a^2(a+1) - a^3}{(a+1)^2} = \frac{a^3+a^2-a^3}{(a+1)^2} = \frac{a^2}{(a+1)^2}$

2. Упростим вторую скобку. Знаменатель второй дроби — это разность квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$.
$\frac{a}{a+1} - \frac{a^2}{(a-1)(a+1)}$
Приводим дроби к общему знаменателю $(a-1)(a+1)$:
$\frac{a(a-1)}{(a-1)(a+1)} - \frac{a^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a(a-1) - a^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2-a-a^2}{(a-1)(a+1)} = \frac{-a}{(a-1)(a+1)}$

3. Теперь выполним деление результатов:
$\frac{a^2}{(a+1)^2} : \frac{-a}{(a-1)(a+1)}$
Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь:
$\frac{a^2}{(a+1)^2} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{-a}$
Сокращаем общие множители $a$ и $(a+1)$:
$\frac{a}{a+1} \cdot \frac{a-1}{-1} = -\frac{a(a-1)}{a+1} = \frac{a(1-a)}{a+1}$

4. Найдем значение упрощенного выражения при $a = -3$:
$\frac{-3(1-(-3))}{-3+1} = \frac{-3(1+3)}{-2} = \frac{-3 \cdot 4}{-2} = \frac{-12}{-2} = 6$

Ответ: 6

б)

Дано выражение: $(\frac{n-1}{n+1} - \frac{n+1}{n-1}) \cdot (\frac{1}{2} - \frac{n}{4} - \frac{1}{4n})$ при $n = 3$.

Сначала упростим выражение в каждой скобке.

1. Упростим первую скобку. Общий знаменатель — $(n+1)(n-1)$.
$\frac{(n-1)(n-1)}{(n+1)(n-1)} - \frac{(n+1)(n+1)}{(n+1)(n-1)} = \frac{(n-1)^2 - (n+1)^2}{(n+1)(n-1)}$
В числителе используем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$\frac{((n-1)-(n+1))((n-1)+(n+1))}{n^2-1} = \frac{(n-1-n-1)(n-1+n+1)}{n^2-1} = \frac{(-2)(2n)}{n^2-1} = \frac{-4n}{n^2-1}$

2. Упростим вторую скобку. Общий знаменатель — $4n$.
$\frac{1 \cdot 2n}{4n} - \frac{n \cdot n}{4n} - \frac{1}{4n} = \frac{2n - n^2 - 1}{4n}$
Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-(n^2 - 2n + 1)}{4n} = \frac{-(n-1)^2}{4n}$

3. Теперь выполним умножение результатов:
$\frac{-4n}{n^2-1} \cdot \frac{-(n-1)^2}{4n}$
Разложим $n^2-1$ на множители: $(n-1)(n+1)$.
$\frac{-4n}{(n-1)(n+1)} \cdot \frac{-(n-1)^2}{4n}$
Сокращаем общие множители $-4n$ и $(n-1)$:
$\frac{1}{(n+1)} \cdot \frac{(n-1)}{1} = \frac{n-1}{n+1}$

4. Найдем значение упрощенного выражения при $n = 3$:
$\frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$