Страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

546. Найдите значения выражения при $x = 0$, $x = -2$, $x = 2^3$:

а) $\frac{x}{2}$;

б) $\frac{10}{x}$;

в) $\frac{2 - 3x}{7x}$;

г) $\frac{x - 2}{2 - 3x}$.

Для того чтобы найти значения выражений, сначала вычислим значение $x = 2^3$.

$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Таким образом, мы будем подставлять в выражения следующие значения переменной $x$: $0$, $-2$ и $8$.

а) Найдем значения для выражения $\frac{x}{2}$.
- При $x = 0$: $\frac{0}{2} = 0$.
- При $x = -2$: $\frac{-2}{2} = -1$.
- При $x = 8$: $\frac{8}{2} = 4$.
Ответ: при $x=0$ значение равно 0; при $x=-2$ значение равно -1; при $x=8$ значение равно 4.

б) Найдем значения для выражения $\frac{10}{x}$.
- При $x = 0$: $\frac{10}{0}$. Деление на ноль невозможно, поэтому при данном значении $x$ выражение не имеет смысла.
- При $x = -2$: $\frac{10}{-2} = -5$.
- При $x = 8$: $\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Ответ: при $x=0$ выражение не имеет смысла; при $x=-2$ значение равно -5; при $x=8$ значение равно 1,25.

в) Найдем значения для выражения $\frac{2 - 3x}{7x}$.
- При $x = 0$: $\frac{2 - 3 \cdot 0}{7 \cdot 0} = \frac{2}{0}$. Деление на ноль невозможно, поэтому при данном значении $x$ выражение не имеет смысла.
- При $x = -2$: $\frac{2 - 3(-2)}{7(-2)} = \frac{2 + 6}{-14} = \frac{8}{-14} = -\frac{4}{7}$.
- При $x = 8$: $\frac{2 - 3 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{2 - 24}{56} = \frac{-22}{56} = -\frac{11}{28}$.
Ответ: при $x=0$ выражение не имеет смысла; при $x=-2$ значение равно $-\frac{4}{7}$; при $x=8$ значение равно $-\frac{11}{28}$.

г) Найдем значения для выражения $\frac{x - 2}{2 - 3x}$.
- При $x = 0$: $\frac{0 - 2}{2 - 3 \cdot 0} = \frac{-2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$.
- При $x = -2$: $\frac{-2 - 2}{2 - 3(-2)} = \frac{-4}{2 + 6} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0,5$.
- При $x = 8$: $\frac{8 - 2}{2 - 3 \cdot 8} = \frac{6}{2 - 24} = \frac{6}{-22} = -\frac{3}{11}$.
Ответ: при $x=0$ значение равно -1; при $x=-2$ значение равно -0,5; при $x=8$ значение равно $-\frac{3}{11}$.

547. Заполните таблицу:

a

4, -10, 6, 0, -1, $-\frac{1}{2}$, -0,7

b

2, 20, -5, 7, 0, -2, 1,4

$\frac{a}{b+a}$

Чтобы заполнить таблицу, необходимо для каждой пары значений a и b вычислить значение выражения $\frac{a}{b+a}$. Выполним вычисления для каждого столбца.

Для a = 4 и b = 2

Подставим значения в выражение:

$\frac{a}{b+a} = \frac{4}{2+4} = \frac{4}{6}$

Сокращаем дробь на 2:

$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

Для a = -10 и b = 20

Подставим значения в выражение:

$\frac{a}{b+a} = \frac{-10}{20+(-10)} = \frac{-10}{20-10} = \frac{-10}{10} = -1$

Ответ: -1

Для a = 6 и b = -5

Подставим значения в выражение:

$\frac{a}{b+a} = \frac{6}{-5+6} = \frac{6}{1} = 6$

Ответ: 6

Для a = 0 и b = 7

Подставим значения в выражение:

$\frac{a}{b+a} = \frac{0}{7+0} = \frac{0}{7} = 0$

Ответ: 0

Для a = -1 и b = 0

Подставим значения в выражение:

$\frac{a}{b+a} = \frac{-1}{0+(-1)} = \frac{-1}{-1} = 1$

Ответ: 1

Для a = $-\frac{1}{2}$ и b = -2

Подставим значения в выражение:

$\frac{a}{b+a} = \frac{-\frac{1}{2}}{-2+(-\frac{1}{2})} = \frac{-\frac{1}{2}}{-2-\frac{1}{2}}$

Вычислим знаменатель:

$-2-\frac{1}{2} = -\frac{4}{2}-\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$

Вычислим значение дроби:

$\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{5}{2}} = (-\frac{1}{2}) \div (-\frac{5}{2}) = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{2}{5}) = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

Для a = -0,7 и b = 1,4

Подставим значения в выражение:

$\frac{a}{b+a} = \frac{-0,7}{1,4+(-0,7)} = \frac{-0,7}{1,4-0,7} = \frac{-0,7}{0,7} = -1$

Ответ: -1

Итоговая заполненная таблица:

548. Найдите значение выражения:

а) $\frac{4 - x^2}{2 + x}$ при $x = 1,04;

б) $\frac{a^2b - ab^2}{a - b}$ при $a = 2,5, b = \frac{1}{25};

в) $\frac{9m^2 + 6mn + n^2}{3m + n}$ при $m = \frac{1}{3}, n = -5;

г) $\frac{a^3 - p^3}{p - a}$ при $a = -\frac{1}{3}, p = -3.$

а) Чтобы найти значение выражения $\frac{4-x^2}{2+x}$ при $x=1,04$, сначала упростим его. Числитель $4-x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$4-x^2 = 2^2 - x^2 = (2-x)(2+x)$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{(2-x)(2+x)}{2+x}$.
Так как $x=1,04$, знаменатель $2+x = 2+1,04 = 3,04 \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(2+x)$.
Получаем упрощенное выражение: $2-x$.
Теперь подставим значение $x=1,04$ в упрощенное выражение:
$2 - 1,04 = 0,96$.
Ответ: 0,96

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{a^2b - ab^2}{a - b}$ при $a=2,5$ и $b=\frac{1}{25}$, сначала упростим его. В числителе вынесем общий множитель $ab$ за скобки:
$a^2b - ab^2 = ab(a-b)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{ab(a-b)}{a-b}$.
Так как $a \neq b$, мы можем сократить дробь на $(a-b)$.
Получаем упрощенное выражение: $ab$.
Теперь подставим значения $a=2,5$ и $b=\frac{1}{25}$. Удобно представить $2,5$ как десятичную дробь $\frac{5}{2}$ или $\frac{25}{10}$.
$ab = 2,5 \cdot \frac{1}{25} = \frac{2,5}{25} = 0,1$.
Или в обыкновенных дробях:
$ab = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{25} = \frac{5}{2 \cdot 25} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1

в) Чтобы найти значение выражения $\frac{9m^2+6mn+n^2}{3m+n}$ при $m=\frac{1}{3}$ и $n=-5$, сначала упростим его. Числитель $9m^2+6mn+n^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$9m^2+6mn+n^2 = (3m)^2 + 2 \cdot (3m) \cdot n + n^2 = (3m+n)^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{(3m+n)^2}{3m+n}$.
Проверим, не равен ли знаменатель нулю: $3m+n = 3 \cdot \frac{1}{3} + (-5) = 1-5 = -4 \neq 0$. Значит, мы можем сократить дробь на $(3m+n)$.
Получаем упрощенное выражение: $3m+n$.
Подставим значения $m$ и $n$:
$3 \cdot \frac{1}{3} + (-5) = 1 - 5 = -4$.
Ответ: -4

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{a^3-p^3}{p-a}$ при $a=-\frac{1}{3}$ и $p=-3$, сначала упростим его. Числитель $a^3-p^3$ — это разность кубов, которая раскладывается по формуле $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.
$a^3-p^3=(a-p)(a^2+ap+p^2)$.
Знаменатель $p-a$ можно записать как $-(a-p)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(a-p)(a^2+ap+p^2)}{-(a-p)}$.
Так как $a \neq p$, мы можем сократить дробь на $(a-p)$.
Получаем упрощенное выражение: $-(a^2+ap+p^2)$.
Теперь подставим значения $a=-\frac{1}{3}$ и $p=-3$ в упрощенное выражение:
$-( (-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{1}{3})(-3) + (-3)^2 ) = -(\frac{1}{9} + 1 + 9) = -(\frac{1}{9} + 10) = -10\frac{1}{9}$.
Можно также представить ответ в виде неправильной дроби: $-10\frac{1}{9} = -\frac{10 \cdot 9 + 1}{9} = -\frac{91}{9}$.
Ответ: $-10\frac{1}{9}$

549. Упростив рациональное выражение, найдите его значение:

а) $(\frac{a^2}{a+1} - \frac{a^3}{a^2+2a+1}) : (\frac{a}{a+1} - \frac{a^2}{a^2-1})$ при $a = -3;$

б) $(\frac{n-1}{n+1} - \frac{n+1}{n-1}) \cdot (\frac{1}{2} - \frac{n}{4} - \frac{1}{4n})$ при $n = 3.$

550. Найдите значение рационального выражения:

$\left(\frac{n}{a}+\frac{a^2}{n^2}\right):\left(\frac{1}{a^2n}+\frac{1}{n^3}-\frac{1}{an^2}\right)-a^2n$ при $a = 0,02, n = -10.$

Для нахождения значения данного рационального выражения сперва упростим его алгебраически. Выполним поочередно действия в скобках, затем деление и вычитание.

1. Сначала преобразуем выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $an^2$:

$ \frac{n}{a} + \frac{a^2}{n^2} = \frac{n \cdot n^2 + a^2 \cdot a}{an^2} = \frac{n^3 + a^3}{an^2} $

2. Затем преобразуем выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $a^2n^3$:

$ \frac{1}{a^2n} + \frac{1}{n^3} - \frac{1}{an^2} = \frac{1 \cdot n^2 + 1 \cdot a^2 - 1 \cdot an}{a^2n^3} = \frac{n^2 - an + a^2}{a^2n^3} $

3. Теперь выполним деление полученных выражений. Для этого умножим первую дробь на дробь, обратную второй:

$ \frac{n^3 + a^3}{an^2} : \frac{n^2 - an + a^2}{a^2n^3} = \frac{n^3 + a^3}{an^2} \cdot \frac{a^2n^3}{n^2 - an + a^2} $

4. Разложим числитель первой дроби $n^3 + a^3$ на множители, используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$:

$ \frac{(n+a)(n^2 - an + a^2)}{an^2} \cdot \frac{a^2n^3}{n^2 - an + a^2} $

5. Сократим общий множитель $(n^2 - an + a^2)$, который присутствует в числителе и знаменателе. Также сократим степени переменных $a$ и $n$:

$ \frac{n+a}{an^2} \cdot \frac{a^2n^3}{1} = (n+a) \cdot \frac{a^2n^3}{an^2} = (n+a) \cdot (a^{2-1}n^{3-2}) = (n+a)an = an(n+a) $

6. Теперь подставим полученное выражение в исходное, заменив им частное двух скобок:

$ an(n+a) - a^2n $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ an^2 + a^2n - a^2n = an^2 $

7. После всех упрощений исходное выражение равно $an^2$. Осталось подставить в него заданные значения $a = 0,02$ и $n = -10$:

$ an^2 = 0,02 \cdot (-10)^2 = 0,02 \cdot 100 = 2 $

Ответ: 2

551. При каких значениях букв определено выражение:

а) $\frac{a+b}{a}$;

б) $\frac{1}{x-1}$;

в) $\frac{c}{c+3}$;

г) $\frac{a-3}{2a-6}$?

а)

Выражение $\frac{a+b}{a}$ представляет собой дробь. Алгебраическая дробь определена (имеет смысл) тогда и только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. В данном выражении знаменатель равен $a$.
Следовательно, чтобы выражение было определено, должно выполняться условие: $a \neq 0$.
Переменная $b$ находится в числителе и может принимать абсолютно любые значения, так как на существование дроби она не влияет.
Ответ: выражение определено при $a \neq 0$ и любом значении $b$.

б)

Выражение $\frac{1}{x-1}$ является дробным. Оно определено, когда его знаменатель $x-1$ не равен нулю.
Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Следовательно, выражение определено при всех значениях $x$, кроме $x=1$.
Ответ: выражение определено при $x \neq 1$.

в)

Выражение $\frac{c}{c+3}$ является дробным. Оно определено, когда его знаменатель $c+3$ не равен нулю.
Найдем значение $c$, при котором знаменатель равен нулю:
$c + 3 = 0$
$c = -3$
Таким образом, выражение определено для всех значений $c$, за исключением $c=-3$.
Ответ: выражение определено при $c \neq -3$.

г)

Выражение $\frac{a-3}{2a-6}$ является дробным. Оно определено, когда его знаменатель $2a-6$ не равен нулю.
Найдем значение $a$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$2a - 6 = 0$
$2a = 6$
$a = \frac{6}{2}$
$a = 3$
Следовательно, выражение определено при всех значениях $a$, кроме $a=3$.
Ответ: выражение определено при $a \neq 3$.

552. Заполните таблицу:

Заголовки колонок:

$a$

$b$

$\frac{a}{b}$

$a - \frac{1}{b}$

$\frac{a + b}{a}$

$\frac{a - b}{a + b}$

$\frac{a^2 - b^2}{a - 2b}$

Данные строк:

2, 1

-1, -3

$\frac{1}{2}$, 0,2

0,4, $-\frac{1}{3}$

Для первой строки ($a = 2, b = 1$):

$\frac{a}{b}$: $\frac{2}{1} = 2$. Ответ: 2

$a - \frac{1}{b}$: $2 - \frac{1}{1} = 2 - 1 = 1$. Ответ: 1

$\frac{a+b}{a}$: $\frac{2+1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$. Ответ: 1,5

$\frac{a-b}{a+b}$: $\frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$

$\frac{a^2-b^2}{a-2b}$: $\frac{2^2-1^2}{2-2 \cdot 1} = \frac{4-1}{2-2} = \frac{3}{0}$. Так как знаменатель равен нулю, выражение не имеет смысла. Ответ: не имеет смысла

Для второй строки ($a = -1, b = -3$):

$\frac{a}{b}$: $\frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$. Ответ: $\frac{1}{3}$

$a - \frac{1}{b}$: $-1 - \frac{1}{-3} = -1 - (-\frac{1}{3}) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. Ответ: $-\frac{2}{3}$

$\frac{a+b}{a}$: $\frac{-1 + (-3)}{-1} = \frac{-4}{-1} = 4$. Ответ: 4

$\frac{a-b}{a+b}$: $\frac{-1 - (-3)}{-1 + (-3)} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} = -0,5$. Ответ: -0,5

$\frac{a^2-b^2}{a-2b}$: $\frac{(-1)^2 - (-3)^2}{-1 - 2(-3)} = \frac{1-9}{-1+6} = \frac{-8}{5} = -1,6$. Ответ: -1,6

Для третьей строки ($a = \frac{1}{2}, b = 0,2$):

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $b = 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$\frac{a}{b}$: $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2} = 2,5$. Ответ: 2,5

$a - \frac{1}{b}$: $\frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{2} - 5 = \frac{1-10}{2} = -\frac{9}{2} = -4,5$. Ответ: -4,5

$\frac{a+b}{a}$: $\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{5+2}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{1}{2}} = \frac{7}{10} \cdot 2 = \frac{7}{5} = 1,4$. Ответ: 1,4

$\frac{a-b}{a+b}$: $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{5}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{5-2}{10}}{\frac{5+2}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{7}{10}} = \frac{3}{7}$. Ответ: $\frac{3}{7}$

$\frac{a^2-b^2}{a-2b}$: $\frac{(\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{5})^2}{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{25}}{\frac{1}{2} - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{25-4}{100}}{\frac{5-4}{10}} = \frac{\frac{21}{100}}{\frac{1}{10}} = \frac{21}{100} \cdot 10 = \frac{21}{10} = 2,1$. Ответ: 2,1

Для четвертой строки ($a = 0,4, b = -\frac{1}{3}$):

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $a = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

$\frac{a}{b}$: $\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{1}{3}} = -\frac{2}{5} \cdot 3 = -\frac{6}{5} = -1,2$. Ответ: -1,2

$a - \frac{1}{b}$: $\frac{2}{5} - \frac{1}{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{5} - (-3) = \frac{2}{5} + 3 = \frac{2+15}{5} = \frac{17}{5} = 3,4$. Ответ: 3,4

$\frac{a+b}{a}$: $\frac{\frac{2}{5} + (-\frac{1}{3})}{\frac{2}{5}} = \frac{\frac{6-5}{15}}{\frac{2}{5}} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{15} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1}{6}$. Ответ: $\frac{1}{6}$

$\frac{a-b}{a+b}$: $\frac{\frac{2}{5} - (-\frac{1}{3})}{\frac{2}{5} + (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{2}{5} + \frac{1}{3}}{\frac{2}{5} - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{6+5}{15}}{\frac{6-5}{15}} = \frac{\frac{11}{15}}{\frac{1}{15}} = 11$. Ответ: 11

$\frac{a^2-b^2}{a-2b}$: $\frac{(\frac{2}{5})^2 - (-\frac{1}{3})^2}{\frac{2}{5} - 2(-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{4}{25} - \frac{1}{9}}{\frac{2}{5} + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{36-25}{225}}{\frac{6+10}{15}} = \frac{\frac{11}{225}}{\frac{16}{15}} = \frac{11}{225} \cdot \frac{15}{16} = \frac{11}{15 \cdot 16} = \frac{11}{240}$. Ответ: $\frac{11}{240}$