Страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

529. Упростите выражение:

а) $\frac{0}{2x}$;

б) $\frac{0}{m-n}$.

а)

Дано выражение $\frac{0}{2x}$. Основное свойство дроби гласит, что если числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то вся дробь равна нулю. Для того чтобы выражение имело смысл, его знаменатель не должен быть равен нулю. Запишем это условие: $2x \neq 0$ Разделив обе части неравенства на 2, получим: $x \neq 0$ При выполнении этого условия ($x \neq 0$), значение исходного выражения будет равно нулю. Таким образом, упрощение выражения $\frac{0}{2x}$ дает 0 при $x \neq 0$.

Ответ: 0

б)

Дано выражение $\frac{0}{m-n}$. Как и в предыдущем случае, значение этого выражения равно нулю при условии, что его знаменатель не равен нулю. Запишем и решим соответствующее условие для знаменателя: $m - n \neq 0$ Прибавив $n$ к обеим частям неравенства, получим: $m \neq n$ Следовательно, при условии, что значение переменной $m$ не равно значению переменной $n$, выражение $\frac{0}{m-n}$ равно нулю.

Ответ: 0

530. Представьте алгебраическую дробь в виде произведения алгебраических дробей:

а) $\frac{1}{2x}$;

б) $\frac{1}{a^2}$;

в) $\frac{2}{m^2 n^3}$;

г) $\frac{3}{(x - y)^2}$;

д) $\frac{a}{a^2 - b^2}$;

е) $\frac{m}{m^3 + n^3}$;

ж) $\frac{1}{p^3 - p}$;

з) $\frac{3}{2a^2 + 2ab}$.

а) Чтобы представить дробь $\frac{1}{2x}$ в виде произведения, разложим ее знаменатель на множители: $2x = 2 \cdot x$. Тогда исходную дробь можно записать как произведение двух дробей.

$\frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

б) Знаменатель дроби $\frac{1}{a^2}$ можно представить в виде произведения $a \cdot a$.

$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{a \cdot a} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$

в) Исходная дробь $\frac{2}{m^2n^3}$. Представим ее числитель и знаменатель в виде произведения множителей. Числитель - это 2, а знаменатель - $m^2 \cdot n^3$.

$\frac{2}{m^2n^3} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^3} = 2 \cdot \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^3}$

Ответ: $2 \cdot \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^3}$

г) Знаменатель дроби $\frac{3}{(x-y)^2}$ можно разложить на множители: $(x-y)^2 = (x-y) \cdot (x-y)$. Числитель равен 3.

$\frac{3}{(x-y)^2} = \frac{3}{(x-y) \cdot (x-y)} = 3 \cdot \frac{1}{x-y} \cdot \frac{1}{x-y}$

Ответ: $3 \cdot \frac{1}{x-y} \cdot \frac{1}{x-y}$

д) Сначала разложим знаменатель дроби $\frac{a}{a^2-b^2}$ на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a}{a^2-b^2} = \frac{a}{(a-b)(a+b)}$

Теперь представим полученное выражение в виде произведения дробей, вынеся числитель $a$ как отдельный множитель.

$\frac{a}{(a-b)(a+b)} = a \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{a+b}$

Ответ: $a \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{a+b}$

е) Разложим знаменатель дроби $\frac{m}{m^3+n^3}$ на множители, используя формулу суммы кубов: $m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$.

$\frac{m}{m^3+n^3} = \frac{m}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}$

Представим дробь в виде произведения, где числитель $m$ является одним из множителей.

$\frac{m}{(m+n)(m^2-mn+n^2)} = m \cdot \frac{1}{m+n} \cdot \frac{1}{m^2-mn+n^2}$

Ответ: $m \cdot \frac{1}{m+n} \cdot \frac{1}{m^2-mn+n^2}$

ж) Разложим знаменатель дроби $\frac{1}{p^3-p}$ на множители. Сначала вынесем общий множитель $p$ за скобки: $p^3-p = p(p^2-1)$. Затем применим формулу разности квадратов: $p^2-1 = (p-1)(p+1)$.

Таким образом, знаменатель равен $p(p-1)(p+1)$.

$\frac{1}{p^3-p} = \frac{1}{p(p-1)(p+1)}$

Представим это в виде произведения трех дробей.

$\frac{1}{p(p-1)(p+1)} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{p-1} \cdot \frac{1}{p+1}$

Ответ: $\frac{1}{p} \cdot \frac{1}{p-1} \cdot \frac{1}{p+1}$

з) Разложим на множители знаменатель дроби $\frac{3}{2a^2+2ab}$. Вынесем общий множитель $2a$ за скобки: $2a^2+2ab = 2a(a+b)$.

$\frac{3}{2a^2+2ab} = \frac{3}{2a(a+b)}$

Знаменатель состоит из трех множителей: $2$, $a$ и $(a+b)$. Представим дробь в виде произведения, сгруппировав числовые множители.

$\frac{3}{2a(a+b)} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a+b}$

Ответ: $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a+b}$

531. Представьте алгебраическую дробь в виде многочлена:

а) $\frac{m}{5};$

б) $-\frac{a}{4};$

в) $\frac{2x}{7};$

г) $-\frac{5y}{8};$

д) $\frac{x - 1}{3};$

е) $\frac{2x - 3}{2};$

ж) $\frac{x^2 - 3x}{10};$

з) $\frac{m^2 - mn + n^2}{8};$

и) $\frac{(a - 1) \cdot 3}{5};$

к) $\frac{(p - q)(p + 4)}{4}.$

а) Чтобы представить алгебраическую дробь $\frac{m}{5}$ в виде многочлена, мы записываем ее как произведение числового коэффициента и переменной. Деление на 5 эквивалентно умножению на $\frac{1}{5}$.
$\frac{m}{5} = \frac{1}{5}m$.
Переводя дробный коэффициент в десятичный, получаем: $\frac{1}{5} = 0.2$.
Таким образом, дробь в виде многочлена (в данном случае одночлена) имеет вид $0.2m$.
Ответ: $0.2m$

б) Аналогично пункту а), представим дробь $-\frac{a}{4}$ в виде произведения.
$-\frac{a}{4} = -\frac{1}{4}a$.
Коэффициент $-\frac{1}{4}$ в десятичном виде равен $-0.25$.
Следовательно, многочлен имеет вид $-0.25a$.
Ответ: $-0.25a$

в) Представим дробь $\frac{2x}{7}$ как произведение коэффициента и переменной.
$\frac{2x}{7} = \frac{2}{7}x$.
Дробь $\frac{2}{7}$ является бесконечной периодической десятичной дробью, поэтому для точности оставим коэффициент в виде обыкновенной дроби.
Ответ: $\frac{2}{7}x$

г) Для дроби $-\frac{5y}{8}$ выполним те же действия.
$-\frac{5y}{8} = -\frac{5}{8}y$.
Коэффициент $-\frac{5}{8}$ можно представить в виде конечной десятичной дроби: $5 \div 8 = 0.625$.
Таким образом, получаем $-0.625y$.
Ответ: $-0.625y$

д) Чтобы представить дробь $\frac{x-1}{3}$ в виде многочлена, нужно почленно разделить числитель на знаменатель.
$\frac{x-1}{3} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$.
Это и есть представление в виде многочлена. Можно также записать с явными коэффициентами: $\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$

е) Для дроби $\frac{2x-3}{2}$ выполним почленное деление числителя на знаменатель.
$\frac{2x-3}{2} = \frac{2x}{2} - \frac{3}{2}$.
Упрощаем каждый член: $\frac{2x}{2} = x$ и $\frac{3}{2} = 1.5$.
В результате получаем многочлен $x - 1.5$.
Ответ: $x - 1.5$

ж) Для дроби $\frac{x^2-3x}{10}$ выполним почленное деление.
$\frac{x^2-3x}{10} = \frac{x^2}{10} - \frac{3x}{10}$.
Запишем коэффициенты в десятичном виде: $\frac{1}{10} = 0.1$ и $\frac{3}{10} = 0.3$.
Получаем многочлен $0.1x^2 - 0.3x$.
Ответ: $0.1x^2 - 0.3x$

з) Для дроби $\frac{m^2 - mn + n^2}{8}$ выполним почленное деление.
$\frac{m^2 - mn + n^2}{8} = \frac{m^2}{8} - \frac{mn}{8} + \frac{n^2}{8}$.
Запишем коэффициенты в виде десятичных дробей, так как $\frac{1}{8} = 0.125$.
Получаем многочлен $0.125m^2 - 0.125mn + 0.125n^2$.
Ответ: $0.125m^2 - 0.125mn + 0.125n^2$

и) Сначала упростим числитель дроби $\frac{(a-1) \cdot 3}{5}$.
$(a-1) \cdot 3 = 3a - 3$.
Дробь принимает вид $\frac{3a - 3}{5}$.
Теперь выполним почленное деление: $\frac{3a}{5} - \frac{3}{5}$.
Переводя коэффициенты в десятичные дроби ($\frac{3}{5} = 0.6$), получаем $0.6a - 0.6$.
Ответ: $0.6a - 0.6$

к) Сначала раскроем скобки в числителе дроби $\frac{(p-q)(p+4)}{4}$.
$(p-q)(p+4) = p \cdot p + p \cdot 4 - q \cdot p - q \cdot 4 = p^2 + 4p - pq - 4q$.
Дробь принимает вид $\frac{p^2 + 4p - pq - 4q}{4}$.
Выполним почленное деление каждого члена числителя на 4.
$\frac{p^2}{4} + \frac{4p}{4} - \frac{pq}{4} - \frac{4q}{4}$.
Упростим выражение: $\frac{1}{4}p^2 + p - \frac{1}{4}pq - q$.
Запишем коэффициенты в десятичном виде ($\frac{1}{4} = 0.25$): $0.25p^2 + p - 0.25pq - q$.
Ответ: $0.25p^2 + p - 0.25pq - q$

532. Дробь $p/q$ несократима. Будет ли несократимой дробь:

а) $q/p$;

б) $(p+q)/q$;

в) $q/(p+q)$;

г) $p/(p+q)$?

По условию, дробь $\frac{p}{q}$ несократима. Это означает, что числитель $p$ и знаменатель $q$ являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Запишем это математически: $\text{НОД}(p, q) = 1$.

а) $\frac{q}{p}$
Дробь является несократимой, если её числитель и знаменатель взаимно просты. Для дроби $\frac{q}{p}$ нужно проверить, будет ли $\text{НОД}(q, p) = 1$. Наибольший общий делитель не зависит от порядка чисел, поэтому $\text{НОД}(q, p) = \text{НОД}(p, q)$. Так как по условию $\text{НОД}(p, q) = 1$, то и $\text{НОД}(q, p) = 1$. Следовательно, дробь $\frac{q}{p}$ несократима.
Ответ: Да, будет несократимой.

б) $\frac{p + q}{q}$
Для того чтобы дробь была несократимой, её числитель $p+q$ и знаменатель $q$ должны быть взаимно просты. Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя, которое гласит, что любой общий делитель чисел $a$ и $b$ также является делителем их суммы или разности. Это значит, что $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a \pm b, b)$. Применительно к нашему случаю: $\text{НОД}(p + q, q) = \text{НОД}((p+q) - q, q) = \text{НОД}(p, q)$. По условию $\text{НОД}(p, q) = 1$, значит, и $\text{НОД}(p + q, q) = 1$. Следовательно, дробь несократима.
Ответ: Да, будет несократимой.

в) $\frac{q}{p + q}$
Проверим взаимную простоту числителя $q$ и знаменателя $p+q$. Используя то же свойство НОД ($\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a, b \pm a)$), получаем: $\text{НОД}(q, p + q) = \text{НОД}(q, (p+q)-q) = \text{НОД}(q, p)$. Так как $\text{НОД}(q, p) = \text{НОД}(p, q) = 1$, то и $\text{НОД}(q, p + q) = 1$. Дробь несократима.
Ответ: Да, будет несократимой.

г) $\frac{p}{p + q}$
Проверим взаимную простоту числителя $p$ и знаменателя $p+q$. Используя свойство НОД, получаем: $\text{НОД}(p, p + q) = \text{НОД}(p, (p+q)-p) = \text{НОД}(p, q)$. По условию $\text{НОД}(p, q) = 1$, следовательно, $\text{НОД}(p, p + q) = 1$. Дробь несократима.
Ответ: Да, будет несократимой.