Номер 530, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 530, страница 136.

Условие.

530. Представьте алгебраическую дробь в виде произведения алгебраических дробей:

а) $\frac{1}{2x}$;

б) $\frac{1}{a^2}$;

в) $\frac{2}{m^2 n^3}$;

г) $\frac{3}{(x - y)^2}$;

д) $\frac{a}{a^2 - b^2}$;

е) $\frac{m}{m^3 + n^3}$;

ж) $\frac{1}{p^3 - p}$;

з) $\frac{3}{2a^2 + 2ab}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы представить дробь $\frac{1}{2x}$ в виде произведения, разложим ее знаменатель на множители: $2x = 2 \cdot x$. Тогда исходную дробь можно записать как произведение двух дробей.

$\frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$

б) Знаменатель дроби $\frac{1}{a^2}$ можно представить в виде произведения $a \cdot a$.

$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{a \cdot a} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$

Ответ: $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a}$

в) Исходная дробь $\frac{2}{m^2n^3}$. Представим ее числитель и знаменатель в виде произведения множителей. Числитель - это 2, а знаменатель - $m^2 \cdot n^3$.

$\frac{2}{m^2n^3} = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^3} = 2 \cdot \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^3}$

Ответ: $2 \cdot \frac{1}{m^2} \cdot \frac{1}{n^3}$

г) Знаменатель дроби $\frac{3}{(x-y)^2}$ можно разложить на множители: $(x-y)^2 = (x-y) \cdot (x-y)$. Числитель равен 3.

$\frac{3}{(x-y)^2} = \frac{3}{(x-y) \cdot (x-y)} = 3 \cdot \frac{1}{x-y} \cdot \frac{1}{x-y}$

Ответ: $3 \cdot \frac{1}{x-y} \cdot \frac{1}{x-y}$

д) Сначала разложим знаменатель дроби $\frac{a}{a^2-b^2}$ на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{a}{a^2-b^2} = \frac{a}{(a-b)(a+b)}$

Теперь представим полученное выражение в виде произведения дробей, вынеся числитель $a$ как отдельный множитель.

$\frac{a}{(a-b)(a+b)} = a \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{a+b}$

Ответ: $a \cdot \frac{1}{a-b} \cdot \frac{1}{a+b}$

е) Разложим знаменатель дроби $\frac{m}{m^3+n^3}$ на множители, используя формулу суммы кубов: $m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$.

$\frac{m}{m^3+n^3} = \frac{m}{(m+n)(m^2-mn+n^2)}$

Представим дробь в виде произведения, где числитель $m$ является одним из множителей.

$\frac{m}{(m+n)(m^2-mn+n^2)} = m \cdot \frac{1}{m+n} \cdot \frac{1}{m^2-mn+n^2}$

Ответ: $m \cdot \frac{1}{m+n} \cdot \frac{1}{m^2-mn+n^2}$

ж) Разложим знаменатель дроби $\frac{1}{p^3-p}$ на множители. Сначала вынесем общий множитель $p$ за скобки: $p^3-p = p(p^2-1)$. Затем применим формулу разности квадратов: $p^2-1 = (p-1)(p+1)$.

Таким образом, знаменатель равен $p(p-1)(p+1)$.

$\frac{1}{p^3-p} = \frac{1}{p(p-1)(p+1)}$

Представим это в виде произведения трех дробей.

$\frac{1}{p(p-1)(p+1)} = \frac{1}{p} \cdot \frac{1}{p-1} \cdot \frac{1}{p+1}$

Ответ: $\frac{1}{p} \cdot \frac{1}{p-1} \cdot \frac{1}{p+1}$

з) Разложим на множители знаменатель дроби $\frac{3}{2a^2+2ab}$. Вынесем общий множитель $2a$ за скобки: $2a^2+2ab = 2a(a+b)$.

$\frac{3}{2a^2+2ab} = \frac{3}{2a(a+b)}$

Знаменатель состоит из трех множителей: $2$, $a$ и $(a+b)$. Представим дробь в виде произведения, сгруппировав числовые множители.

$\frac{3}{2a(a+b)} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a+b}$

Ответ: $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a+b}$