Номер 537, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.4. Рациональные выражения. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 537, страница 138.

Условие.

537. a) $\frac{x+y}{x} - \frac{x}{x-y} + \frac{y^2}{x^2-xy}$;

б) $\frac{1}{m+2} + \frac{1}{m-2} - \frac{4}{m^2-4}$;

В) $\frac{3x^2+3xy}{4xy+6ay} \cdot \left(\frac{x}{ax+ay} + \frac{3}{2x+2y}\right)$;

Г) $\left(\frac{c-d}{c^2+cd} - \frac{c}{d^2+cd}\right) : \left(\frac{d^2}{c^3-cd^2} + \frac{1}{c+d}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Упростим выражение $\frac{x+y}{x} - \frac{x}{x-y} + \frac{y^2}{x^2-xy}$.

1. Разложим на множители знаменатель последней дроби: $x^2 - xy = x(x-y)$.

2. Общий знаменатель для всех дробей будет $x(x-y)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель $(x-y)$, для второй - $x$.

$\frac{(x+y)(x-y)}{x(x-y)} - \frac{x \cdot x}{x(x-y)} + \frac{y^2}{x(x-y)}$

4. Выполним действия в числителе. Числитель первой дроби является разностью квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

$\frac{(x^2-y^2) - x^2 + y^2}{x(x-y)} = \frac{x^2 - y^2 - x^2 + y^2}{x(x-y)} = \frac{0}{x(x-y)} = 0$

Выражение равно нулю при допустимых значениях переменных ($x \neq 0, x \neq y$).

Ответ: $0$.

б)

Упростим выражение $\frac{1}{m+2} + \frac{1}{m-2} - \frac{4}{m^2-4}$.

1. Разложим знаменатель последней дроби на множители по формуле разности квадратов: $m^2 - 4 = (m-2)(m+2)$.

2. Общий знаменатель для всех дробей: $(m-2)(m+2)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Для первой дроби дополнительный множитель $(m-2)$, для второй - $(m+2)$.

$\frac{1 \cdot (m-2)}{(m+2)(m-2)} + \frac{1 \cdot (m+2)}{(m-2)(m+2)} - \frac{4}{(m-2)(m+2)}$

4. Выполним сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(m-2) + (m+2) - 4}{(m-2)(m+2)} = \frac{m-2+m+2-4}{(m-2)(m+2)} = \frac{2m-4}{(m-2)(m+2)}$

5. Вынесем в числителе общий множитель за скобки: $2m-4 = 2(m-2)$.

6. Сократим полученную дробь:

$\frac{2(m-2)}{(m-2)(m+2)} = \frac{2}{m+2}$

Ответ: $\frac{2}{m+2}$.

в)

Упростим выражение $\frac{3x^2+3xy}{4xy+6ay} \cdot \left( \frac{x}{ax+ay} + \frac{3}{2x+2y} \right)$.

1. Сначала выполним сложение в скобках. Разложим знаменатели на множители: $ax+ay=a(x+y)$ и $2x+2y=2(x+y)$. Общий знаменатель $2a(x+y)$.

$\frac{x}{a(x+y)} + \frac{3}{2(x+y)} = \frac{x \cdot 2}{2a(x+y)} + \frac{3 \cdot a}{2a(x+y)} = \frac{2x+3a}{2a(x+y)}$

2. Теперь разложим на множители числитель и знаменатель первого множителя:

$\frac{3x^2+3xy}{4xy+6ay} = \frac{3x(x+y)}{2y(2x+3a)}$

3. Выполним умножение полученных выражений:

$\frac{3x(x+y)}{2y(2x+3a)} \cdot \frac{2x+3a}{2a(x+y)}$

4. Сократим общие множители $(x+y)$ и $(2x+3a)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3x}{2y} \cdot \frac{1}{2a} = \frac{3x}{4ay}$

Ответ: $\frac{3x}{4ay}$.

г)

Упростим выражение $\left( \frac{c-d}{c^2+cd} - \frac{c}{d^2+cd} \right) : \left( \frac{d^2}{c^3-cd^2} + \frac{1}{c+d} \right)$.

1. Выполним действие в первых скобках. Разложим знаменатели на множители $c^2+cd = c(c+d)$ и $d^2+cd = d(c+d)$. Общий знаменатель $cd(c+d)$.

$\frac{c-d}{c(c+d)} - \frac{c}{d(c+d)} = \frac{d(c-d)}{cd(c+d)} - \frac{c \cdot c}{cd(c+d)} = \frac{cd-d^2-c^2}{cd(c+d)} = -\frac{c^2-cd+d^2}{cd(c+d)}$

2. Выполним действие во вторых скобках. Разложим знаменатель $c^3-cd^2 = c(c^2-d^2) = c(c-d)(c+d)$. Общий знаменатель $c(c-d)(c+d)$.

$\frac{d^2}{c(c-d)(c+d)} + \frac{1}{c+d} = \frac{d^2}{c(c-d)(c+d)} + \frac{c(c-d)}{c(c-d)(c+d)} = \frac{d^2+c^2-cd}{c(c-d)(c+d)}$

3. Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\left(-\frac{c^2-cd+d^2}{cd(c+d)}\right) \cdot \frac{c(c-d)(c+d)}{c^2-cd+d^2}$

4. Сократим общие множители $(c^2-cd+d^2)$, $c$ и $(c+d)$:

$-\frac{1}{d} \cdot \frac{c-d}{1} = -\frac{c-d}{d} = \frac{-(c-d)}{d} = \frac{d-c}{d}$

Ответ: $\frac{d-c}{d}$.