Номер 532, страница 136 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 532, страница 136.

Условие.

532. Дробь $p/q$ несократима. Будет ли несократимой дробь:

а) $q/p$;

б) $(p+q)/q$;

в) $q/(p+q)$;

г) $p/(p+q)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

По условию, дробь $\frac{p}{q}$ несократима. Это означает, что числитель $p$ и знаменатель $q$ являются взаимно простыми числами, то есть их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Запишем это математически: $\text{НОД}(p, q) = 1$.

а) $\frac{q}{p}$
Дробь является несократимой, если её числитель и знаменатель взаимно просты. Для дроби $\frac{q}{p}$ нужно проверить, будет ли $\text{НОД}(q, p) = 1$. Наибольший общий делитель не зависит от порядка чисел, поэтому $\text{НОД}(q, p) = \text{НОД}(p, q)$. Так как по условию $\text{НОД}(p, q) = 1$, то и $\text{НОД}(q, p) = 1$. Следовательно, дробь $\frac{q}{p}$ несократима.
Ответ: Да, будет несократимой.

б) $\frac{p + q}{q}$
Для того чтобы дробь была несократимой, её числитель $p+q$ и знаменатель $q$ должны быть взаимно просты. Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя, которое гласит, что любой общий делитель чисел $a$ и $b$ также является делителем их суммы или разности. Это значит, что $\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a \pm b, b)$. Применительно к нашему случаю: $\text{НОД}(p + q, q) = \text{НОД}((p+q) - q, q) = \text{НОД}(p, q)$. По условию $\text{НОД}(p, q) = 1$, значит, и $\text{НОД}(p + q, q) = 1$. Следовательно, дробь несократима.
Ответ: Да, будет несократимой.

в) $\frac{q}{p + q}$
Проверим взаимную простоту числителя $q$ и знаменателя $p+q$. Используя то же свойство НОД ($\text{НОД}(a, b) = \text{НОД}(a, b \pm a)$), получаем: $\text{НОД}(q, p + q) = \text{НОД}(q, (p+q)-q) = \text{НОД}(q, p)$. Так как $\text{НОД}(q, p) = \text{НОД}(p, q) = 1$, то и $\text{НОД}(q, p + q) = 1$. Дробь несократима.
Ответ: Да, будет несократимой.

г) $\frac{p}{p + q}$
Проверим взаимную простоту числителя $p$ и знаменателя $p+q$. Используя свойство НОД, получаем: $\text{НОД}(p, p + q) = \text{НОД}(p, (p+q)-p) = \text{НОД}(p, q)$. По условию $\text{НОД}(p, q) = 1$, следовательно, $\text{НОД}(p, p + q) = 1$. Дробь несократима.
Ответ: Да, будет несократимой.