Номер 526, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 526, страница 135.

Условие.

526. a) $\frac{a^2 - b^2}{2a^2b} \cdot \frac{4ab^2}{a + b};$

Б) $\frac{(x - y)^2}{3x^2y^3} : \frac{x - y}{6xy^2};$

В) $\frac{mn - m^2}{2m} \cdot \frac{8n}{n^2 - m^2};$

Г) $\frac{2a - 4}{b + 1} : \frac{a^2 - 4}{(b + 1)^2};$

Д) $\frac{x + y}{x - y} \cdot \frac{x^2 - xy}{2x^2 - 2y^2};$

e) $\frac{16 - m^2}{m^2 - 3m} : \frac{m^2 + 4m}{m^2 - 9}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Для того чтобы умножить дроби $\frac{a^2 - b^2}{2a^2b} \cdot \frac{4ab^2}{a+b}$, сначала разложим на множители числители и знаменатели там, где это возможно. Числитель первой дроби является разностью квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{(a-b)(a+b)}{2a^2b} \cdot \frac{4ab^2}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b) \cdot 4ab^2}{2a^2b \cdot (a+b)}$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общие множители: $(a+b)$, $2$, $a$, $b$.

$\frac{(a-b)\cancel{(a+b)} \cdot 2 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{a} \cdot b \cdot \cancel{b}}{\cancel{2} \cdot a \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{(a+b)}} = \frac{2b(a-b)}{a}$

Ответ: $\frac{2b(a-b)}{a}$.

б) Чтобы разделить дробь $\frac{(x-y)^2}{3x^2y^3}$ на дробь $\frac{x-y}{6xy^2}$, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$\frac{(x-y)^2}{3x^2y^3} : \frac{x-y}{6xy^2} = \frac{(x-y)^2}{3x^2y^3} \cdot \frac{6xy^2}{x-y} = \frac{(x-y)^2 \cdot 6xy^2}{3x^2y^3 \cdot (x-y)}$

Сократим общие множители $(x-y)$, $3$, $x$, $y^2$.

$\frac{\cancel{(x-y)}(x-y) \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{x} \cdot \cancel{y^2}}{\cancel{3} \cdot x \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{y^2} \cdot \cancel{(x-y)}} = \frac{2(x-y)}{xy}$

Ответ: $\frac{2(x-y)}{xy}$.

в) Выполним умножение дробей $\frac{mn - m^2}{2m} \cdot \frac{8n}{n^2 - m^2}$. Сначала разложим на множители.

$mn - m^2 = m(n-m)$

$n^2 - m^2 = (n-m)(n+m)$

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{m(n-m)}{2m} \cdot \frac{8n}{(n-m)(n+m)} = \frac{m(n-m) \cdot 8n}{2m(n-m)(n+m)}$

Сократим общие множители $m$, $(n-m)$ и $2$.

$\frac{\cancel{m}\cancel{(n-m)} \cdot 4 \cdot \cancel{2} \cdot n}{\cancel{2}\cancel{m}\cancel{(n-m)}(n+m)} = \frac{4n}{n+m}$

Ответ: $\frac{4n}{n+m}$.

г) Для выполнения деления $\frac{2a - 4}{b+1} : \frac{a^2 - 4}{(b+1)^2}$ заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим выражения на множители.

$2a-4=2(a-2)$

$a^2-4=(a-2)(a+2)$

$\frac{2a - 4}{b+1} \cdot \frac{(b+1)^2}{a^2 - 4} = \frac{2(a-2)}{b+1} \cdot \frac{(b+1)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{2(a-2)(b+1)^2}{(b+1)(a-2)(a+2)}$

Сократим общие множители $(a-2)$ и $(b+1)$.

$\frac{2\cancel{(a-2)}\cancel{(b+1)}(b+1)}{\cancel{(b+1)}\cancel{(a-2)}(a+2)} = \frac{2(b+1)}{a+2}$

Ответ: $\frac{2(b+1)}{a+2}$.

д) Выполним умножение дробей $\frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x^2 - xy}{2x^2 - 2y^2}$, предварительно разложив на множители.

$x^2 - xy = x(x-y)$

$2x^2 - 2y^2 = 2(x^2 - y^2) = 2(x-y)(x+y)$

$\frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x(x-y)}{2(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y) \cdot x(x-y)}{(x-y) \cdot 2(x-y)(x+y)}$

Сократим общие множители $(x+y)$ и $(x-y)$.

$\frac{\cancel{(x+y)} \cdot x \cdot \cancel{(x-y)}}{\cancel{(x-y)} \cdot 2(x-y)\cancel{(x+y)}} = \frac{x}{2(x-y)}$

Ответ: $\frac{x}{2(x-y)}$.

е) Выполним деление $\frac{16 - m^2}{m^2 - 3m} : \frac{m^2 + 4m}{m^2 - 9}$. Заменим деление на умножение и разложим все на множители.

$16 - m^2 = (4-m)(4+m)$

$m^2 - 3m = m(m-3)$

$m^2 + 4m = m(m+4)$

$m^2 - 9 = (m-3)(m+3)$

$\frac{16 - m^2}{m^2 - 3m} \cdot \frac{m^2 - 9}{m^2 + 4m} = \frac{(4-m)(4+m)}{m(m-3)} \cdot \frac{(m-3)(m+3)}{m(m+4)}$

Объединим дроби и сократим общие множители $(m+4)$ (так как $4+m=m+4$) и $(m-3)$.

$\frac{(4-m)\cancel{(m+4)}\cancel{(m-3)}(m+3)}{m\cancel{(m-3)}m\cancel{(m+4)}} = \frac{(4-m)(m+3)}{m^2}$

Ответ: $\frac{(4-m)(m+3)}{m^2}$.