Номер 520, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 520, страница 134.

Условие.

520. а) $\frac{1}{2a - 2} + \frac{2}{4a - 4}$;

б) $\frac{7a}{3x + 3} - \frac{a}{6x + 6}$;

в) $\frac{2m}{4m + 4n} + \frac{4n}{8m + 8n}$;

г) $\frac{2p}{10p - 10q} - \frac{3q}{15p - 15q}$;

д) $\frac{2x}{ax + bx} + \frac{3y}{ay + by}$;

е) $\frac{y}{ax - bx} - \frac{x}{ay - by}$;

ж) $\frac{1}{2x^2y - xy} + \frac{2}{y - 2xy}$;

з) $\frac{3}{3m^2n - 6mn^2} - \frac{2}{4mn - 2m^2}$;

и) $\frac{15}{10p^3q - 15p^2q^2} - \frac{6q}{9pq^3 - 6p^2q^2}$;

к) $\frac{3b}{2a^3b - 8a^2b^2} - \frac{5a}{12a^3b - 3a^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $\frac{1}{2a-2} + \frac{2}{4a-4}$
Сначала разложим знаменатели на множители: $2a-2 = 2(a-1)$ и $4a-4 = 4(a-1)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен $4(a-1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним сложение:
$\frac{1}{2(a-1)} + \frac{2}{4(a-1)} = \frac{1 \cdot 2}{2(a-1) \cdot 2} + \frac{2}{4(a-1)} = \frac{2}{4(a-1)} + \frac{2}{4(a-1)} = \frac{2+2}{4(a-1)} = \frac{4}{4(a-1)}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{4}{4(a-1)} = \frac{1}{a-1}$
Ответ: $\frac{1}{a-1}$

б) $\frac{7a}{3x+3} - \frac{a}{6x+6}$
Разложим знаменатели на множители: $3x+3=3(x+1)$ и $6x+6=6(x+1)$.
НОЗ равен $6(x+1)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
$\frac{7a}{3(x+1)} - \frac{a}{6(x+1)} = \frac{7a \cdot 2}{3(x+1) \cdot 2} - \frac{a}{6(x+1)} = \frac{14a}{6(x+1)} - \frac{a}{6(x+1)} = \frac{14a-a}{6(x+1)} = \frac{13a}{6(x+1)}$
Ответ: $\frac{13a}{6(x+1)}$

в) $\frac{2m}{4m+4n} + \frac{4n}{8m+8n}$
Разложим знаменатели: $4m+4n = 4(m+n)$ и $8m+8n = 8(m+n)$.
Упростим каждую дробь перед сложением:$\frac{2m}{4(m+n)} = \frac{m}{2(m+n)}$ и $\frac{4n}{8(m+n)} = \frac{n}{2(m+n)}$.
Теперь сложим упрощенные дроби:
$\frac{m}{2(m+n)} + \frac{n}{2(m+n)} = \frac{m+n}{2(m+n)} = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $\frac{2p}{10p-10q} - \frac{3q}{15p-15q}$
Разложим знаменатели: $10p-10q = 10(p-q)$ и $15p-15q = 15(p-q)$.
НОЗ равен $30(p-q)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и вычтем:
$\frac{2p}{10(p-q)} - \frac{3q}{15(p-q)} = \frac{2p \cdot 3}{10(p-q) \cdot 3} - \frac{3q \cdot 2}{15(p-q) \cdot 2} = \frac{6p}{30(p-q)} - \frac{6q}{30(p-q)} = \frac{6p-6q}{30(p-q)}$
Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:
$\frac{6(p-q)}{30(p-q)} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$

д) $\frac{2x}{ax+bx} + \frac{3y}{ay+by}$
Разложим знаменатели: $ax+bx = x(a+b)$ и $ay+by = y(a+b)$.
Упростим каждую дробь: $\frac{2x}{x(a+b)} = \frac{2}{a+b}$ и $\frac{3y}{y(a+b)} = \frac{3}{a+b}$.
Сложим полученные дроби:
$\frac{2}{a+b} + \frac{3}{a+b} = \frac{2+3}{a+b} = \frac{5}{a+b}$
Ответ: $\frac{5}{a+b}$

е) $\frac{y}{ax-bx} - \frac{x}{ay-by}$
Разложим знаменатели на множители: $ax-bx = x(a-b)$ и $ay-by = y(a-b)$.
НОЗ равен $xy(a-b)$.
Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:
$\frac{y}{x(a-b)} - \frac{x}{y(a-b)} = \frac{y \cdot y}{x(a-b) \cdot y} - \frac{x \cdot x}{y(a-b) \cdot x} = \frac{y^2}{xy(a-b)} - \frac{x^2}{xy(a-b)} = \frac{y^2-x^2}{xy(a-b)}$
Числитель можно разложить по формуле разности квадратов: $y^2-x^2 = (y-x)(y+x)$.
$\frac{(y-x)(y+x)}{xy(a-b)}$
Ответ: $\frac{y^2-x^2}{xy(a-b)}$

ж) $\frac{1}{2x^2y-xy} + \frac{2}{y-2xy}$
Разложим знаменатели: $2x^2y-xy = xy(2x-1)$ и $y-2xy = y(1-2x) = -y(2x-1)$.
Перепишем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя:
$\frac{2}{y-2xy} = \frac{2}{-y(2x-1)} = -\frac{2}{y(2x-1)}$
Выражение примет вид: $\frac{1}{xy(2x-1)} - \frac{2}{y(2x-1)}$.
НОЗ равен $xy(2x-1)$.
Приведем дроби к НОЗ и вычтем:
$\frac{1}{xy(2x-1)} - \frac{2 \cdot x}{y(2x-1) \cdot x} = \frac{1}{xy(2x-1)} - \frac{2x}{xy(2x-1)} = \frac{1-2x}{xy(2x-1)}$
Упростим результат: $\frac{-(2x-1)}{xy(2x-1)} = -\frac{1}{xy}$
Ответ: $-\frac{1}{xy}$

з) $\frac{3}{3m^2n-6mn^2} - \frac{2}{4mn-2m^2}$
Разложим знаменатели: $3m^2n-6mn^2 = 3mn(m-2n)$ и $4mn-2m^2 = 2m(2n-m) = -2m(m-2n)$.
Упростим первую дробь: $\frac{3}{3mn(m-2n)} = \frac{1}{mn(m-2n)}$.
Перепишем вторую дробь: $\frac{2}{4mn-2m^2} = \frac{2}{-2m(m-2n)} = -\frac{1}{m(m-2n)}$.
Выражение примет вид: $\frac{1}{mn(m-2n)} - (-\frac{1}{m(m-2n)}) = \frac{1}{mn(m-2n)} + \frac{1}{m(m-2n)}$.
НОЗ равен $mn(m-2n)$.
Приведем дроби к НОЗ и сложим:
$\frac{1}{mn(m-2n)} + \frac{1 \cdot n}{m(m-2n) \cdot n} = \frac{1}{mn(m-2n)} + \frac{n}{mn(m-2n)} = \frac{1+n}{mn(m-2n)}$
Ответ: $\frac{1+n}{mn(m-2n)}$

и) $\frac{15}{10p^3q - 15p^2q^2} - \frac{6q}{9pq^3 - 6p^2q^2}$
Разложим знаменатели: $10p^3q - 15p^2q^2 = 5p^2q(2p-3q)$ и $9pq^3 - 6p^2q^2 = 3pq^2(3q-2p) = -3pq^2(2p-3q)$.
Упростим первую дробь: $\frac{15}{5p^2q(2p-3q)} = \frac{3}{p^2q(2p-3q)}$.
Перепишем и упростим вторую дробь: $\frac{6q}{-3pq^2(2p-3q)} = -\frac{2}{pq(2p-3q)}$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{p^2q(2p-3q)} - (-\frac{2}{pq(2p-3q)}) = \frac{3}{p^2q(2p-3q)} + \frac{2}{pq(2p-3q)}$.
НОЗ равен $p^2q(2p-3q)$.
$\frac{3}{p^2q(2p-3q)} + \frac{2 \cdot p}{pq(2p-3q) \cdot p} = \frac{3}{p^2q(2p-3q)} + \frac{2p}{p^2q(2p-3q)} = \frac{3+2p}{p^2q(2p-3q)}$
Ответ: $\frac{2p+3}{p^2q(2p-3q)}$

к) $\frac{3b}{2a^3b - 8a^2b^2} - \frac{5a}{12a^3b - 3a^4}$
Разложим знаменатели: $2a^3b - 8a^2b^2 = 2a^2b(a-4b)$ и $12a^3b - 3a^4 = 3a^3(4b-a) = -3a^3(a-4b)$.
Упростим первую дробь: $\frac{3b}{2a^2b(a-4b)} = \frac{3}{2a^2(a-4b)}$.
Перепишем и упростим вторую дробь: $\frac{5a}{-3a^3(a-4b)} = -\frac{5}{3a^2(a-4b)}$.
Выражение примет вид: $\frac{3}{2a^2(a-4b)} - (-\frac{5}{3a^2(a-4b)}) = \frac{3}{2a^2(a-4b)} + \frac{5}{3a^2(a-4b)}$.
НОЗ равен $6a^2(a-4b)$.
$\frac{3 \cdot 3}{2a^2(a-4b) \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{3a^2(a-4b) \cdot 2} = \frac{9}{6a^2(a-4b)} + \frac{10}{6a^2(a-4b)} = \frac{9+10}{6a^2(a-4b)} = \frac{19}{6a^2(a-4b)}$
Ответ: $\frac{19}{6a^2(a-4b)}$