Номер 519, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 519, страница 134.

Условие.

519. a) $ \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}; $

б) $ \frac{7}{m^4} - \frac{3a}{m^2}; $

в) $ \frac{1}{a^5b^3} + \frac{1}{ab^7}; $

г) $ \frac{4}{x^4b^3} - \frac{3}{x^2b^5}; $

д) $ \frac{3a}{x^7y^5z} - \frac{3b}{xy^4z^5}; $

е) $ \frac{m^7n}{a^4b^3c^9} + \frac{3mn^2}{a^3b^6c^4}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Дано выражение $\frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$. Чтобы вычесть эти дроби, их нужно привести к общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $x^2$ и $x^3$ - это $x^3$, так как это наименьшая степень, которая делится на $x^2$ и на $x^3$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2}{x^2}$ равен $\frac{x^3}{x^2} = x$.

Вторая дробь $\frac{3}{x^3}$ уже имеет нужный знаменатель.

Приводим первую дробь к знаменателю $x^3$: $\frac{2 \cdot x}{x^2 \cdot x} = \frac{2x}{x^3}$.

Теперь выполняем вычитание: $\frac{2x}{x^3} - \frac{3}{x^3} = \frac{2x - 3}{x^3}$.

Ответ: $\frac{2x - 3}{x^3}$

б)

Дано выражение $\frac{7}{m^4} - \frac{3a}{m^2}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $m^4$ и $m^2$ - это $m^4$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3a}{m^2}$ равен $\frac{m^4}{m^2} = m^2$. Первая дробь уже имеет нужный знаменатель.

Приводим вторую дробь к знаменателю $m^4$: $\frac{3a \cdot m^2}{m^2 \cdot m^2} = \frac{3am^2}{m^4}$.

Выполняем вычитание: $\frac{7}{m^4} - \frac{3am^2}{m^4} = \frac{7 - 3am^2}{m^4}$.

Ответ: $\frac{7 - 3am^2}{m^4}$

в)

Дано выражение $\frac{1}{a^5b^3} + \frac{1}{ab^7}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $a^5b^3$ и $ab^7$ находится путем взятия каждой переменной в наивысшей степени. НОЗ = $a^5b^7$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{a^5b^3}$ равен $\frac{a^5b^7}{a^5b^3} = b^4$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{ab^7}$ равен $\frac{a^5b^7}{ab^7} = a^4$.

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{1 \cdot b^4}{a^5b^3 \cdot b^4} + \frac{1 \cdot a^4}{ab^7 \cdot a^4} = \frac{b^4}{a^5b^7} + \frac{a^4}{a^5b^7}$.

Выполняем сложение: $\frac{b^4 + a^4}{a^5b^7}$.

Ответ: $\frac{a^4 + b^4}{a^5b^7}$

г)

Дано выражение $\frac{4}{x^4b^3} - \frac{3}{x^2b^5}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $x^4b^3$ и $x^2b^5$ равен $x^4b^5$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{4}{x^4b^3}$ равен $\frac{x^4b^5}{x^4b^3} = b^2$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3}{x^2b^5}$ равен $\frac{x^4b^5}{x^2b^5} = x^2$.

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{4 \cdot b^2}{x^4b^3 \cdot b^2} - \frac{3 \cdot x^2}{x^2b^5 \cdot x^2} = \frac{4b^2}{x^4b^5} - \frac{3x^2}{x^4b^5}$.

Выполняем вычитание: $\frac{4b^2 - 3x^2}{x^4b^5}$.

Ответ: $\frac{4b^2 - 3x^2}{x^4b^5}$

д)

Дано выражение $\frac{3a}{x^7y^5z} - \frac{3b}{xy^4z^5}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $x^7y^5z$ и $xy^4z^5$ равен $x^7y^5z^5$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{3a}{x^7y^5z}$ равен $\frac{x^7y^5z^5}{x^7y^5z} = z^4$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3b}{xy^4z^5}$ равен $\frac{x^7y^5z^5}{xy^4z^5} = x^6y$.

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{3a \cdot z^4}{x^7y^5z \cdot z^4} - \frac{3b \cdot x^6y}{xy^4z^5 \cdot x^6y} = \frac{3az^4}{x^7y^5z^5} - \frac{3bx^6y}{x^7y^5z^5}$.

Выполняем вычитание: $\frac{3az^4 - 3bx^6y}{x^7y^5z^5}$. Можно вынести общий множитель 3 в числителе: $\frac{3(az^4 - bx^6y)}{x^7y^5z^5}$.

Ответ: $\frac{3az^4 - 3bx^6y}{x^7y^5z^5}$

е)

Дано выражение $\frac{m^7n}{a^4b^3c^9} + \frac{3mn^2}{a^3b^6c^4}$. Приведем дроби к общему знаменателю.

НОЗ для $a^4b^3c^9$ и $a^3b^6c^4$ равен $a^4b^6c^9$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{m^7n}{a^4b^3c^9}$ равен $\frac{a^4b^6c^9}{a^4b^3c^9} = b^3$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{3mn^2}{a^3b^6c^4}$ равен $\frac{a^4b^6c^9}{a^3b^6c^4} = ac^5$.

Приводим дроби к общему знаменателю: $\frac{m^7n \cdot b^3}{a^4b^3c^9 \cdot b^3} + \frac{3mn^2 \cdot ac^5}{a^3b^6c^4 \cdot ac^5} = \frac{m^7nb^3}{a^4b^6c^9} + \frac{3amn^2c^5}{a^4b^6c^9}$.

Выполняем сложение: $\frac{m^7nb^3 + 3amn^2c^5}{a^4b^6c^9}$. В числителе можно вынести за скобки общий множитель $mn$: $\frac{mn(m^6b^3 + 3anc^5)}{a^4b^6c^9}$.

Ответ: $\frac{m^7nb^3 + 3amn^2c^5}{a^4b^6c^9}$