Номер 518, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 518, страница 134.

Условие.

518. a) $\frac{m}{ab} + \frac{m}{ac}$;

б) $\frac{2a}{mn} - \frac{5a}{mb}$;

B) $\frac{2a-3b}{m} + \frac{4a-5b^2}{mb}$;

Г) $\frac{x-y}{xy} - \frac{x-z}{xz}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сложить дроби $\frac{m}{ab} + \frac{m}{ac}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $ab$ и $ac$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — это $abc$.

Найдём дополнительные множители для каждой дроби:

• для дроби $\frac{m}{ab}$ дополнительный множитель равен $c$;
• для дроби $\frac{m}{ac}$ дополнительный множитель равен $b$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель и выполним сложение:

$\frac{m}{ab} + \frac{m}{ac} = \frac{m \cdot c}{ab \cdot c} + \frac{m \cdot b}{ac \cdot b} = \frac{mc}{abc} + \frac{mb}{abc} = \frac{mc + mb}{abc}$

В числителе можно вынести за скобки общий множитель $m$:

$\frac{m(c + b)}{abc}$

Ответ: $\frac{m(b+c)}{abc}$

б) Чтобы вычесть дроби $\frac{2a}{mn} - \frac{5a}{mb}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $mn$ и $mb$. НОЗ для них — $mnb$.

Дополнительные множители:

• для дроби $\frac{2a}{mn}$ — это $b$;
• для дроби $\frac{5a}{mb}$ — это $n$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание:

$\frac{2a}{mn} - \frac{5a}{mb} = \frac{2a \cdot b}{mn \cdot b} - \frac{5a \cdot n}{mb \cdot n} = \frac{2ab}{mnb} - \frac{5an}{mnb} = \frac{2ab - 5an}{mnb}$

Вынесем в числителе общий множитель $a$ за скобки:

$\frac{a(2b - 5n)}{mnb}$

Ответ: $\frac{a(2b-5n)}{mnb}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{2a - 3b}{m} + \frac{4a - 5b^2}{mb}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $m$ и $mb$. НОЗ для них — $mb$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2a - 3b}{m}$ — это $b$. Вторая дробь уже имеет требуемый знаменатель.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$ и выполним сложение:

$\frac{(2a - 3b) \cdot b}{m \cdot b} + \frac{4a - 5b^2}{mb} = \frac{2ab - 3b^2}{mb} + \frac{4a - 5b^2}{mb}$

Теперь сложим числители:

$\frac{2ab - 3b^2 + 4a - 5b^2}{mb}$

Приведем подобные слагаемые в числителе ($ -3b^2 $ и $ -5b^2 $):

$\frac{2ab + 4a - 8b^2}{mb}$

Ответ: $\frac{2ab+4a-8b^2}{mb}$

г) Чтобы вычесть дроби $\frac{x - y}{xy} - \frac{x - z}{xz}$, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели дробей — $xy$ и $xz$. НОЗ для них — $xyz$.

Дополнительные множители:

• для дроби $\frac{x - y}{xy}$ — это $z$;
• для дроби $\frac{x - z}{xz}$ — это $y$.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычитание. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью.

$\frac{(x - y) \cdot z}{xy \cdot z} - \frac{(x - z) \cdot y}{xz \cdot y} = \frac{xz - yz}{xyz} - \frac{xy - zy}{xyz} = \frac{(xz - yz) - (xy - zy)}{xyz}$

Раскроем скобки в числителе, меняя знаки:

$\frac{xz - yz - xy + zy}{xyz}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $-yz$ и $+zy$ взаимно уничтожаются.

$\frac{xz - xy}{xyz}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе за скобки:

$\frac{x(z - y)}{xyz}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на $x$:

$\frac{z-y}{yz}$

Ответ: $\frac{z-y}{yz}$