Номер 511, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 511, страница 133.

Условие.

511. Подберите целое выражение B так, чтобы равенство было верным:

а) $\frac{1}{2} = \frac{a+b}{B}$;

б) $\frac{x}{3} = \frac{B}{3(x+y)}$;

в) $\frac{a}{3} = \frac{B}{6a+6}$;

г) $\frac{a-b}{3} = \frac{a^2-b^2}{B}$;

д) $\frac{x}{a} = \frac{B}{a^2-a}$;

е) $\frac{m-1}{m} = \frac{m^3-1}{B}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) В равенстве $\frac{1}{2} = \frac{a+b}{B}$ знаменатель правой дроби $B$ должен быть в 2 раза больше ее числителя $(a+b)$, чтобы дробь была равна $\frac{1}{2}$. Другой способ — использовать основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$1 \cdot B = 2 \cdot (a+b)$
$B = 2(a+b)$
$B = 2a + 2b$.
Проверим: $\frac{a+b}{2a+2b} = \frac{a+b}{2(a+b)} = \frac{1}{2}$. Равенство верно.
Ответ: $B = 2a + 2b$.

б) В равенстве $\frac{x}{3} = \frac{B}{3(x+y)}$ используем свойство пропорции:
$x \cdot 3(x+y) = 3 \cdot B$
Разделим обе части уравнения на 3:
$x(x+y) = B$
$B = x^2 + xy$.
Проверим: $\frac{x(x+y)}{3(x+y)} = \frac{x}{3}$. Равенство верно.
Ответ: $B = x(x+y)$.

в) В равенстве $\frac{a}{3} = \frac{B}{6a+6}$ используем свойство пропорции:
$a \cdot (6a+6) = 3 \cdot B$
Вынесем общий множитель в скобках:
$a \cdot 6(a+1) = 3B$
$6a(a+1) = 3B$
Разделим обе части на 3:
$2a(a+1) = B$
$B = 2a^2 + 2a$.
Проверим: $\frac{2a^2+2a}{6a+6} = \frac{2a(a+1)}{6(a+1)} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$. Равенство верно.
Ответ: $B = 2a^2 + 2a$.

г) В равенстве $\frac{a-b}{3} = \frac{a^2-b^2}{B}$ используем свойство пропорции:
$(a-b) \cdot B = 3 \cdot (a^2-b^2)$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:
$(a-b) \cdot B = 3 \cdot (a-b)(a+b)$
При условии, что $a \neq b$, мы можем разделить обе части на $(a-b)$:
$B = 3(a+b)$
$B = 3a + 3b$.
Проверим: $\frac{a^2-b^2}{3(a+b)} = \frac{(a-b)(a+b)}{3(a+b)} = \frac{a-b}{3}$. Равенство верно.
Ответ: $B = 3a + 3b$.

д) В равенстве $\frac{x}{a} = \frac{B}{a^2-a}$ используем свойство пропорции:
$x \cdot (a^2-a) = a \cdot B$
Вынесем общий множитель $a$ в левой части:
$x \cdot a(a-1) = a \cdot B$
При условии, что $a \neq 0$, мы можем разделить обе части на $a$:
$x(a-1) = B$
$B = ax - x$.
Проверим: $\frac{ax-x}{a^2-a} = \frac{x(a-1)}{a(a-1)} = \frac{x}{a}$. Равенство верно.
Ответ: $B = x(a-1)$.

е) В равенстве $\frac{m-1}{m} = \frac{m^3-1}{B}$ используем свойство пропорции:
$(m-1) \cdot B = m \cdot (m^3-1)$
Применим формулу разности кубов $m^3-1 = (m-1)(m^2+m+1)$:
$(m-1) \cdot B = m \cdot (m-1)(m^2+m+1)$
При условии, что $m \neq 1$, мы можем разделить обе части на $(m-1)$:
$B = m(m^2+m+1)$
$B = m^3 + m^2 + m$.
Проверим: $\frac{m^3-1}{m(m^2+m+1)} = \frac{(m-1)(m^2+m+1)}{m(m^2+m+1)} = \frac{m-1}{m}$. Равенство верно.
Ответ: $B = m(m^2+m+1)$.