Номер 504, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 504, страница 132.

Условие.

504. Докажите равенство:

a) $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} $

б) $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Для доказательства равенства $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} $ преобразуем его правую часть.

Правая часть равенства: $ \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} $.

Воспользуемся свойством рациональной дроби, согласно которому знак минус из знаменателя можно вынести перед всей дробью: $ \frac{C}{-D} = -\frac{C}{D} $.

Подставим это преобразование в правую часть исходного выражения:

$ \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} = \frac{A}{B} + \left(-\frac{C}{D}\right) $

Раскрыв скобки, получаем:

$ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} $

Мы получили выражение, которое в точности совпадает с левой частью равенства. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} $ доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} $ преобразуем его правую часть.

Правая часть равенства: $ \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} $.

Используем то же свойство дроби: $ \frac{C}{-D} = -\frac{C}{D} $.

Подставим преобразованное выражение в правую часть исходного равенства:

$ \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} = \frac{A}{B} - \left(-\frac{C}{D}\right) $

Вычитание отрицательной дроби эквивалентно сложению положительной дроби (минус на минус дает плюс):

$ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} $

Полученное выражение совпадает с левой частью равенства. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} $ доказано.