Номер 509, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 509, страница 133.

Условие.

509. а) $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{2x}{1 - x}$;

б) $\frac{1}{x - y} - \frac{1}{y - x}$;

В) $\frac{2a}{a - b} - \frac{3a}{b - a}$;

Г) $\frac{4m - 1}{n - m} + \frac{m - 4}{m - n}$;

Д) $\frac{2p + q}{p - 2q} + \frac{p + 3q}{2q - p}$;

е) $\frac{8a + b}{1 - a} - \frac{2a - 3b}{a - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{x+1}{x-1} + \frac{2x}{1-x}$, приведем их к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $x-1$ и $1-x$ являются противоположными выражениями, то есть $1-x = -(x-1)$.

Преобразуем вторую дробь, вынеся знак минус из знаменателя:

$\frac{2x}{1-x} = \frac{2x}{-(x-1)} = -\frac{2x}{x-1}$

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{x+1}{x-1} - \frac{2x}{x-1}$

Так как знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей:

$\frac{(x+1) - 2x}{x-1} = \frac{x+1-2x}{x-1} = \frac{1-x}{x-1}$

В числителе вынесем $-1$ за скобки:

$\frac{-(x-1)}{x-1} = -1$

Ответ: $-1$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{y-x}$.

Знаменатели $x-y$ и $y-x$ противоположны: $y-x = -(x-y)$.

Преобразуем вторую дробь:

$\frac{1}{y-x} = \frac{1}{-(x-y)} = -\frac{1}{x-y}$

Подставим полученное выражение в исходное:

$\frac{1}{x-y} - (-\frac{1}{x-y}) = \frac{1}{x-y} + \frac{1}{x-y}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{1+1}{x-y} = \frac{2}{x-y}$

Ответ: $\frac{2}{x-y}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{2a}{a-b} - \frac{3a}{b-a}$.

Знаменатели $a-b$ и $b-a$ противоположны: $b-a = -(a-b)$.

Изменим знак у второй дроби:

$\frac{3a}{b-a} = \frac{3a}{-(a-b)} = -\frac{3a}{a-b}$

Выражение примет вид:

$\frac{2a}{a-b} - (-\frac{3a}{a-b}) = \frac{2a}{a-b} + \frac{3a}{a-b}$

Сложим числители:

$\frac{2a+3a}{a-b} = \frac{5a}{a-b}$

Ответ: $\frac{5a}{a-b}$

г)

Дано выражение $\frac{4m-1}{n-m} + \frac{m-4}{m-n}$.

Знаменатели $n-m$ и $m-n$ противоположны: $m-n = -(n-m)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $n-m$. Для этого преобразуем вторую дробь:

$\frac{m-4}{m-n} = \frac{m-4}{-(n-m)} = -\frac{m-4}{n-m}$

Теперь выражение можно записать в виде:

$\frac{4m-1}{n-m} - \frac{m-4}{n-m}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(4m-1) - (m-4)}{n-m} = \frac{4m-1-m+4}{n-m} = \frac{3m+3}{n-m}$

В числителе можно вынести общий множитель $3$:

$\frac{3(m+1)}{n-m}$

Ответ: $\frac{3(m+1)}{n-m}$

д)

Рассмотрим выражение $\frac{2p+q}{p-2q} + \frac{p+3q}{2q-p}$.

Знаменатели $p-2q$ и $2q-p$ противоположны: $2q-p = -(p-2q)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $p-2q$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{p+3q}{2q-p} = \frac{p+3q}{-(p-2q)} = -\frac{p+3q}{p-2q}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{2p+q}{p-2q} - \frac{p+3q}{p-2q}$

Выполним вычитание:

$\frac{(2p+q) - (p+3q)}{p-2q} = \frac{2p+q-p-3q}{p-2q} = \frac{p-2q}{p-2q}$

Так как числитель и знаменатель равны (при условии $p \ne 2q$), дробь равна $1$.

Ответ: $1$

е)

Рассмотрим выражение $\frac{8a+b}{1-a} - \frac{2a-3b}{a-1}$.

Знаменатели $1-a$ и $a-1$ противоположны: $a-1 = -(1-a)$.

Приведем дроби к общему знаменателю $1-a$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{2a-3b}{a-1} = \frac{2a-3b}{-(1-a)} = -\frac{2a-3b}{1-a}$

Подставим в исходное выражение:

$\frac{8a+b}{1-a} - (-\frac{2a-3b}{1-a}) = \frac{8a+b}{1-a} + \frac{2a-3b}{1-a}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{(8a+b) + (2a-3b)}{1-a} = \frac{8a+b+2a-3b}{1-a}$

Упростим числитель:

$\frac{10a-2b}{1-a}$

Ответ: $\frac{10a-2b}{1-a}$