Номер 515, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 515, страница 134.

Условие.

515. а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{a+b}$;

б) $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b}$;

В) $\frac{1}{m+n} - \frac{1}{n}$;

Г) $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y}$;

Д) $\frac{2}{a-b} + \frac{3}{a+b}$;

е) $\frac{4}{p-q} - \frac{3}{p+q}$;

Ж) $\frac{2a}{a-2b} + \frac{3a}{a+b}$;

З) $\frac{3x}{x-y} - \frac{2x}{2x-y}$;

И) $\frac{5m}{2m-n} - \frac{3m}{n-m}$;

К) $\frac{4p}{q-2p} - \frac{2p}{2p+q}$;

Л) $\frac{7}{2x-y} - \frac{5}{y-2x}$;

М) $\frac{5x}{x-3y} + \frac{4x+3y}{3y-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $\frac{1}{a} + \frac{1}{a+b}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a$ и $a+b$ — это их произведение $a(a+b)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+b)$, а второй дроби — на $a$:

$\frac{1 \cdot (a+b)}{a(a+b)} + \frac{1 \cdot a}{a(a+b)} = \frac{a+b}{a(a+b)} + \frac{a}{a(a+b)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$\frac{a+b+a}{a(a+b)} = \frac{2a+b}{a(a+b)}$

Ответ: $\frac{2a+b}{a(a+b)}$

б) $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b}$

Общим знаменателем является произведение знаменателей $(a+b)(a-b)$, которое по формуле разности квадратов равно $a^2-b^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{1 \cdot (a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b+a+b}{a^2-b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2a}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{2a}{a^2-b^2}$

в) $\frac{1}{m+n} - \frac{1}{n}$

Общий знаменатель для $m+n$ и $n$ — это их произведение $n(m+n)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot n}{n(m+n)} - \frac{1 \cdot (m+n)}{n(m+n)} = \frac{n-(m+n)}{n(m+n)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{n-m-n}{n(m+n)} = \frac{-m}{n(m+n)}$

Ответ: $-\frac{m}{n(m+n)}$

г) $\frac{1}{x-y} - \frac{1}{x+y}$

Общий знаменатель — это $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{1 \cdot (x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-(x-y)}{x^2-y^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{2y}{x^2-y^2}$

д) $\frac{2}{a-b} + \frac{3}{a+b}$

Общий знаменатель — $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{2(a+b)+3(a-b)}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{2a+2b+3a-3b}{a^2-b^2} = \frac{5a-b}{a^2-b^2}$

Ответ: $\frac{5a-b}{a^2-b^2}$

е) $\frac{4}{p-q} - \frac{3}{p+q}$

Общий знаменатель — $(p-q)(p+q) = p^2-q^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4(p+q)}{(p-q)(p+q)} - \frac{3(p-q)}{(p-q)(p+q)} = \frac{4(p+q)-3(p-q)}{p^2-q^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{4p+4q-3p+3q}{p^2-q^2} = \frac{p+7q}{p^2-q^2}$

Ответ: $\frac{p+7q}{p^2-q^2}$

ж) $\frac{2a}{a-2b} + \frac{3a}{a+b}$

Общий знаменатель — $(a-2b)(a+b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2a(a+b)}{(a-2b)(a+b)} + \frac{3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)} = \frac{2a(a+b)+3a(a-2b)}{(a-2b)(a+b)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{2a^2+2ab+3a^2-6ab}{(a-2b)(a+b)} = \frac{5a^2-4ab}{(a-2b)(a+b)}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе:

$\frac{a(5a-4b)}{(a-2b)(a+b)}$

Ответ: $\frac{a(5a-4b)}{(a-2b)(a+b)}$

з) $\frac{3x}{x-y} - \frac{2x}{2x-y}$

Общий знаменатель — $(x-y)(2x-y)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3x(2x-y)}{(x-y)(2x-y)} - \frac{2x(x-y)}{(x-y)(2x-y)} = \frac{3x(2x-y)-2x(x-y)}{(x-y)(2x-y)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{6x^2-3xy-(2x^2-2xy)}{(x-y)(2x-y)} = \frac{6x^2-3xy-2x^2+2xy}{(x-y)(2x-y)} = \frac{4x^2-xy}{(x-y)(2x-y)}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе:

$\frac{x(4x-y)}{(x-y)(2x-y)}$

Ответ: $\frac{x(4x-y)}{(x-y)(2x-y)}$

и) $\frac{5m}{2m-n} - \frac{3m}{n-m}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $n-m = -(m-n)$. Преобразуем выражение, изменив знак перед дробью:

$\frac{5m}{2m-n} - \frac{3m}{-(m-n)} = \frac{5m}{2m-n} + \frac{3m}{m-n}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(2m-n)(m-n)$:

$\frac{5m(m-n)}{(2m-n)(m-n)} + \frac{3m(2m-n)}{(2m-n)(m-n)} = \frac{5m^2-5mn + 6m^2-3mn}{(2m-n)(m-n)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{11m^2-8mn}{(2m-n)(m-n)}$

Вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$\frac{m(11m-8n)}{(2m-n)(m-n)}$

Ответ: $\frac{m(11m-8n)}{(2m-n)(m-n)}$

к) $\frac{4p}{q-2p} - \frac{2p}{2p+q}$

Общий знаменатель — $(q-2p)(q+2p)$, что по формуле разности квадратов равно $q^2-4p^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{4p(q+2p)}{(q-2p)(q+2p)} - \frac{2p(q-2p)}{(q-2p)(q+2p)} = \frac{4p(q+2p)-2p(q-2p)}{q^2-4p^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{4pq+8p^2-(2pq-4p^2)}{q^2-4p^2} = \frac{4pq+8p^2-2pq+4p^2}{q^2-4p^2} = \frac{12p^2+2pq}{q^2-4p^2}$

Вынесем общий множитель $2p$ в числителе:

$\frac{2p(6p+q)}{q^2-4p^2}$

Ответ: $\frac{2p(6p+q)}{q^2-4p^2}$

л) $\frac{7}{2x-y} - \frac{5}{y-2x}$

Заметим, что знаменатель второй дроби $y-2x = -(2x-y)$. Используем это свойство:

$\frac{7}{2x-y} - \frac{5}{-(2x-y)} = \frac{7}{2x-y} + \frac{5}{2x-y}$

Теперь дроби имеют одинаковый знаменатель. Сложим их числители:

$\frac{7+5}{2x-y} = \frac{12}{2x-y}$

Ответ: $\frac{12}{2x-y}$

м) $\frac{5x}{x-3y} + \frac{4x+3y}{3y-x}$

Знаменатель второй дроби $3y-x = -(x-3y)$. Преобразуем выражение:

$\frac{5x}{x-3y} + \frac{4x+3y}{-(x-3y)} = \frac{5x}{x-3y} - \frac{4x+3y}{x-3y}$

У дробей теперь общий знаменатель. Выполним вычитание числителей:

$\frac{5x - (4x+3y)}{x-3y} = \frac{5x - 4x - 3y}{x-3y} = \frac{x-3y}{x-3y}$

При условии, что $x-3y \neq 0$, дробь равна 1:

$\frac{x-3y}{x-3y} = 1$

Ответ: $1$