Номер 522, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 522, страница 135.

Условие.

522. a) $3 - \frac{7}{m - 2}$;

б) $1 - \frac{x - y}{x + y}$;

в) $\frac{(a + b)^2}{b} - 2a$;

г) $\frac{(a - b)^2}{2a} + b$;

д) $a + b - \frac{a^2 + b^2}{a - b}$;

е) $\frac{a^2 + b^2}{a + b} + a - b.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы представить выражение в виде дроби, приведем его компоненты к общему знаменателю. Общий знаменатель для выражения $3 - \frac{7}{m-2}$ это $(m-2)$.
Представим число $3$ в виде дроби со знаменателем $(m-2)$: $3 = \frac{3(m-2)}{m-2} = \frac{3m-6}{m-2}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{3m-6}{m-2} - \frac{7}{m-2} = \frac{3m-6-7}{m-2} = \frac{3m-13}{m-2}$.
Ответ: $\frac{3m-13}{m-2}$.

б) Приведем выражение $1 - \frac{x-y}{x+y}$ к общему знаменателю $(x+y)$.
Представим $1$ как дробь со знаменателем $(x+y)$: $1 = \frac{x+y}{x+y}$.
Выполним вычитание дробей, обращая внимание на знак перед второй дробью:
$\frac{x+y}{x+y} - \frac{x-y}{x+y} = \frac{(x+y)-(x-y)}{x+y} = \frac{x+y-x+y}{x+y} = \frac{2y}{x+y}$.
Ответ: $\frac{2y}{x+y}$.

в) Приведем выражение $\frac{(a+b)^2}{b} - 2a$ к общему знаменателю $b$.
Представим $2a$ в виде дроби со знаменателем $b$: $2a = \frac{2a \cdot b}{b} = \frac{2ab}{b}$.
Выполним вычитание:
$\frac{(a+b)^2}{b} - \frac{2ab}{b} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{b}$.
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$\frac{a^2+2ab+b^2 - 2ab}{b} = \frac{a^2+b^2}{b}$.
Ответ: $\frac{a^2+b^2}{b}$.

г) Приведем выражение $\frac{(a-b)^2}{2a} + b$ к общему знаменателю $2a$.
Представим $b$ в виде дроби со знаменателем $2a$: $b = \frac{b \cdot 2a}{2a} = \frac{2ab}{2a}$.
Выполним сложение дробей:
$\frac{(a-b)^2}{2a} + \frac{2ab}{2a} = \frac{(a-b)^2 + 2ab}{2a}$.
Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$\frac{a^2-2ab+b^2 + 2ab}{2a} = \frac{a^2+b^2}{2a}$.
Ответ: $\frac{a^2+b^2}{2a}$.

д) Приведем выражение $a+b - \frac{a^2+b^2}{a-b}$ к общему знаменателю $(a-b)$.
Представим $(a+b)$ в виде дроби со знаменателем $(a-b)$: $a+b = \frac{(a+b)(a-b)}{a-b}$.
Применим в числителе формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$\frac{a^2-b^2}{a-b} - \frac{a^2+b^2}{a-b} = \frac{(a^2-b^2)-(a^2+b^2)}{a-b} = \frac{a^2-b^2-a^2-b^2}{a-b} = \frac{-2b^2}{a-b}$.
Ответ: $\frac{-2b^2}{a-b}$.

е) Приведем выражение $\frac{a^2+b^2}{a+b} + a - b$ к общему знаменателю $(a+b)$.
Представим $(a-b)$ в виде дроби со знаменателем $(a+b)$: $a-b = \frac{(a-b)(a+b)}{a+b}$.
Применим в числителе формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$\frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{a^2-b^2}{a+b} = \frac{(a^2+b^2)+(a^2-b^2)}{a+b} = \frac{a^2+b^2+a^2-b^2}{a+b} = \frac{2a^2}{a+b}$.
Ответ: $\frac{2a^2}{a+b}$.