Номер 523, страница 135 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 523, страница 135.

Условие.

523. а) $ \frac{a}{b} : \frac{c}{d}; $

б) $ \frac{x}{y} : \frac{a}{b}; $

в) $ \frac{4a}{7b} \cdot \frac{21}{a}; $

г) $ \frac{5}{8} : \frac{15q}{16p}; $

д) $ \frac{5ax}{6by} \cdot \frac{3x}{5y}; $

е) $ \frac{7}{a} \cdot \frac{5ax}{14by}; $

ж) $ \frac{8a^2y}{5bx} : \frac{3ay}{4b^2x}; $

з) $ \frac{25x^2y^3}{36ab} : \frac{35x^3y}{24b^2}; $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Результатом будет новая дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{ac}{bd}$
Ответ: $\frac{ac}{bd}$

б) Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно умножить первую дробь (делимое) на дробь, обратную второй (делителю).
$\frac{x}{y} : \frac{a}{b} = \frac{x}{y} \cdot \frac{b}{a} = \frac{x \cdot b}{y \cdot a} = \frac{xb}{ya}$
Ответ: $\frac{xb}{ya}$

в) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели:
$\frac{4a}{7b} \cdot \frac{21}{a} = \frac{4a \cdot 21}{7b \cdot a}$
Теперь сократим полученную дробь. В числителе и знаменателе есть общий множитель $a$, который можно сократить. Также можно сократить числовые коэффициенты: $21$ и $7$ делятся на $7$.
$\frac{4\cancel{a} \cdot (3 \cdot \cancel{7})}{\cancel{7}b \cdot \cancel{a}} = \frac{4 \cdot 3}{b} = \frac{12}{b}$
Ответ: $\frac{12}{b}$

г) Для деления дробей умножим первую дробь на дробь, обратную второй:
$\frac{5}{8} : \frac{15q}{16p} = \frac{5}{8} \cdot \frac{16p}{15q} = \frac{5 \cdot 16p}{8 \cdot 15q}$
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. $5$ и $15$ сокращаются на $5$ (остается $1$ в числителе и $3$ в знаменателе). $16$ и $8$ сокращаются на $8$ (остается $2$ в числителе и $1$ в знаменателе).
$\frac{\cancel{5} \cdot (\cancel{8} \cdot 2)p}{\cancel{8} \cdot (\cancel{5} \cdot 3)q} = \frac{2p}{3q}$
Ответ: $\frac{2p}{3q}$

д) Выполним умножение, перемножив числители и знаменатели:
$\frac{5ax}{6by} \cdot \frac{3x}{5y} = \frac{5ax \cdot 3x}{6by \cdot 5y} = \frac{15ax^2}{30by^2}$
Сократим полученную дробь. Коэффициент $15$ и $30$ сокращается на $15$.
$\frac{15ax^2}{30by^2} = \frac{1 \cdot ax^2}{2 \cdot by^2} = \frac{ax^2}{2by^2}$
Ответ: $\frac{ax^2}{2by^2}$

е) Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{7}{a} \cdot \frac{5ax}{14by} = \frac{7 \cdot 5ax}{a \cdot 14by}$
Сократим общие множители. Переменная $a$ есть и в числителе, и в знаменателе. Числа $7$ и $14$ сокращаются на $7$.
$\frac{\cancel{7} \cdot 5\cancel{a}x}{\cancel{a} \cdot (\cancel{7} \cdot 2)by} = \frac{5x}{2by}$
Ответ: $\frac{5x}{2by}$

ж) При делении дробей умножаем первую дробь на обратную второй:
$\frac{8a^2y}{5bx} : \frac{3ay}{4b^2x} = \frac{8a^2y}{5bx} \cdot \frac{4b^2x}{3ay} = \frac{8a^2y \cdot 4b^2x}{5bx \cdot 3ay}$
Сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные:
$\frac{(8 \cdot 4) \cdot (a^2b^2xy)}{(5 \cdot 3) \cdot (abxy)} = \frac{32}{15} \cdot \frac{a^2}{a} \cdot \frac{b^2}{b} \cdot \frac{x}{x} \cdot \frac{y}{y}$
Используя свойства степеней ($ \frac{m^n}{m^k} = m^{n-k} $), получаем:
$\frac{32}{15} \cdot a^{2-1} \cdot b^{2-1} \cdot x^{1-1} \cdot y^{1-1} = \frac{32}{15} \cdot a \cdot b \cdot 1 \cdot 1 = \frac{32ab}{15}$
Ответ: $\frac{32ab}{15}$

з) Для выполнения деления умножим первую дробь на перевернутую вторую:
$\frac{25x^2y^3}{36ab} : \frac{35x^3y}{24b^2} = \frac{25x^2y^3}{36ab} \cdot \frac{24b^2}{35x^3y} = \frac{25 \cdot 24 \cdot x^2y^3b^2}{36 \cdot 35 \cdot abx^3y}$
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{25}{35} = \frac{5}{7}$ (сокращение на 5) и $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ (сокращение на 12). Итоговый коэффициент: $\frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 3} = \frac{10}{21}$.
Сократим переменные: $\frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x}$, $\frac{y^3}{y} = y^2$, $\frac{b^2}{b} = b$. Переменная $a$ остается в знаменателе.
Объединим результаты:
$\frac{10}{21} \cdot \frac{by^2}{ax} = \frac{10by^2}{21ax}$
Ответ: $\frac{10by^2}{21ax}$