Номер 521, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 521, страница 134.

Условие.

521. a) $ \frac{2a}{a^2 - 9} + \frac{3}{a - 3}; $

Б) $ \frac{5}{m + n} - \frac{4n}{m^2 - n^2}; $

В) $ \frac{x}{4 - 9x^2} + \frac{1}{3x + 2}; $

Г) $ \frac{1}{2p + 4q} - \frac{q}{4q^2 - p^2}; $

Д) $ \frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3}; $

е) $ \frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} - \frac{1}{2(m + n)}; $

Ж) $ \frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} + \frac{1}{2y - x}; $

З) $ \frac{2(p + q)}{p^3 - q^3} + \frac{3}{q^2 - p^2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $\frac{2a}{a^2 - 9} + \frac{3}{a - 3}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{2a}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{3}{a - 3}$

Общий знаменатель для этих дробей - $(a - 3)(a + 3)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(a + 3)$:

$\frac{2a}{(a - 3)(a + 3)} + \frac{3(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)}$

Сложим дроби:

$\frac{2a + 3(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{2a + 3a + 9}{(a - 3)(a + 3)} = \frac{5a + 9}{(a - 3)(a + 3)}$

Ответ: $\frac{5a + 9}{a^2 - 9}$

б) $\frac{5}{m + n} - \frac{4n}{m^2 - n^2}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов:

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Выражение принимает вид:

$\frac{5}{m + n} - \frac{4n}{(m - n)(m + n)}$

Общий знаменатель - $(m - n)(m + n)$. Домножим первую дробь на $(m - n)$:

$\frac{5(m - n)}{(m - n)(m + n)} - \frac{4n}{(m - n)(m + n)}$

Выполним вычитание:

$\frac{5(m - n) - 4n}{(m - n)(m + n)} = \frac{5m - 5n - 4n}{(m - n)(m + n)} = \frac{5m - 9n}{(m - n)(m + n)}$

Ответ: $\frac{5m - 9n}{m^2 - n^2}$

в) $\frac{x}{4 - 9x^2} + \frac{1}{3x + 2}$

Разложим знаменатель первой дроби на множители:

$4 - 9x^2 = (2 - 3x)(2 + 3x)$

Выражение принимает вид:

$\frac{x}{(2 - 3x)(2 + 3x)} + \frac{1}{2 + 3x}$

Общий знаменатель - $(2 - 3x)(2 + 3x)$. Домножим вторую дробь на $(2 - 3x)$:

$\frac{x}{(2 - 3x)(2 + 3x)} + \frac{1(2 - 3x)}{(2 + 3x)(2 - 3x)}$

Сложим дроби:

$\frac{x + (2 - 3x)}{(2 - 3x)(2 + 3x)} = \frac{x + 2 - 3x}{(2 - 3x)(2 + 3x)} = \frac{2 - 2x}{4 - 9x^2}$

Ответ: $\frac{2 - 2x}{4 - 9x^2}$

г) $\frac{1}{2p + 4q} - \frac{q}{4q^2 - p^2}$

Разложим на множители знаменатели обеих дробей:

$2p + 4q = 2(p + 2q)$

$4q^2 - p^2 = (2q - p)(2q + p)$

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{2(p + 2q)} - \frac{q}{(2q - p)(2q + p)}$

Общий знаменатель - $2(p + 2q)(2q - p)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1 \cdot (2q - p)}{2(p + 2q)(2q - p)} - \frac{q \cdot 2}{2(2q - p)(p + 2q)}$

Выполним вычитание:

$\frac{2q - p - 2q}{2(p + 2q)(2q - p)} = \frac{-p}{2(2q + p)(2q - p)} = \frac{-p}{2(4q^2 - p^2)}$

Можно изменить знак в числителе и знаменателе:

$\frac{p}{2(p^2 - 4q^2)}$

Ответ: $\frac{p}{2(p^2 - 4q^2)}$

д) $\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$

Общий знаменатель - $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Домножим первую дробь на $(a - b)$:

$\frac{1(a - b)}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} + \frac{b}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$

Сложим дроби:

$\frac{a - b + b}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a}{a^3 - b^3}$

Ответ: $\frac{a}{a^3 - b^3}$

е) $\frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} - \frac{1}{2(m + n)}$

Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$:

$\frac{m^2 + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{1}{2(m + n)}$

Общий знаменатель - $2(m + n)(m^2 - mn + n^2)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2(m^2 + n^2)}{2(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{1(m^2 - mn + n^2)}{2(m + n)(m^2 - mn + n^2)}$

Выполним вычитание:

$\frac{2(m^2 + n^2) - (m^2 - mn + n^2)}{2(m^3 + n^3)} = \frac{2m^2 + 2n^2 - m^2 + mn - n^2}{2(m^3 + n^3)} = \frac{m^2 + mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$

ж) $\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} + \frac{1}{2y - x}$

Сначала упростим первую дробь, вынеся в числителе общий множитель $x$ и сократив:

$\frac{x(x - 2y)}{(x - 2y)^3} = \frac{x}{(x - 2y)^2}$

Теперь изменим знак в знаменателе второй дроби:

$\frac{1}{2y - x} = \frac{1}{-(x - 2y)} = -\frac{1}{x - 2y}$

Выражение принимает вид:

$\frac{x}{(x - 2y)^2} - \frac{1}{x - 2y}$

Общий знаменатель - $(x - 2y)^2$. Домножим вторую дробь на $(x - 2y)$:

$\frac{x}{(x - 2y)^2} - \frac{1(x - 2y)}{(x - 2y)^2}$

Выполним вычитание:

$\frac{x - (x - 2y)}{(x - 2y)^2} = \frac{x - x + 2y}{(x - 2y)^2} = \frac{2y}{(x - 2y)^2}$

Ответ: $\frac{2y}{(x - 2y)^2}$

з) $\frac{2(p + q)}{p^3 - q^3} + \frac{3}{q^2 - p^2}$

Разложим знаменатели на множители:

$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$

$q^2 - p^2 = (q - p)(q + p) = -(p - q)(p + q)$

Подставим разложенные знаменатели в выражение и изменим знак второй дроби:

$\frac{2(p + q)}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} - \frac{3}{(p - q)(p + q)}$

Общий знаменатель - $(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{2(p + q)(p + q)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)} - \frac{3(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$

Выполним вычитание в числителе:

$\frac{2(p + q)^2 - 3(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)} = \frac{2(p^2 + 2pq + q^2) - 3p^2 - 3pq - 3q^2}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$

Упростим числитель:

$2p^2 + 4pq + 2q^2 - 3p^2 - 3pq - 3q^2 = -p^2 + pq - q^2 = -(p^2 - pq + q^2)$

Запишем итоговую дробь:

$\frac{-(p^2 - pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$

Ответ: $\frac{-(p^2 - pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$