Номер 514, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 514, страница 133.

Условие.

514. a) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$;

б) $\frac{2}{x} - \frac{3}{y}$;

В) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$;

Г) $\frac{5a}{7} - \frac{b}{x}$;

Д) $\frac{1}{2a} - \frac{1}{3}$;

е) $\frac{1}{a} - \frac{1}{bc}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. В данном случае знаменатели дробей - это $a$ и $b$. Наименьший общий знаменатель для них будет их произведение: $ab$.
Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $b$, а второй - на $a$:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1 \cdot b}{a \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b \cdot a} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab}$
Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем сложить числители:
$\frac{b + a}{ab}$
Ответ: $\frac{a+b}{ab}$

б) Для вычитания дробей $\frac{2}{x}$ и $\frac{3}{y}$ найдем наименьший общий знаменатель. Знаменатели $x$ и $y$ не имеют общих множителей, поэтому их наименьший общий знаменатель - это их произведение $xy$.
Приведем дроби к этому знаменателю. Первую дробь домножим на $y$, а вторую на $x$:
$\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = \frac{2 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{3 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{2y}{xy} - \frac{3x}{xy}$
Теперь вычтем числители:
$\frac{2y - 3x}{xy}$
Ответ: $\frac{2y-3x}{xy}$

в) Чтобы сложить дроби $\frac{x}{a}$ и $\frac{y}{b}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $a$ и $b$ - это $ab$.
Домножим первую дробь на $b$, а вторую на $a$:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = \frac{x \cdot b}{a \cdot b} + \frac{y \cdot a}{b \cdot a} = \frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab}$
Сложим числители полученных дробей:
$\frac{bx + ay}{ab}$
Ответ: $\frac{bx+ay}{ab}$

г) Для вычитания дробей $\frac{5a}{7}$ и $\frac{b}{x}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели 7 и $x$ не имеют общих множителей, поэтому наименьший общий знаменатель равен $7x$.
Домножим первую дробь на $x$, а вторую на 7:
$\frac{5a}{7} - \frac{b}{x} = \frac{5a \cdot x}{7 \cdot x} - \frac{b \cdot 7}{x \cdot 7} = \frac{5ax}{7x} - \frac{7b}{7x}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{5ax - 7b}{7x}$
Ответ: $\frac{5ax-7b}{7x}$

д) Необходимо вычесть дроби $\frac{1}{2a}$ и $\frac{1}{3}$. Знаменатели - $2a$ и $3$. Наименьший общий знаменатель - это наименьшее общее кратное коэффициентов (2 и 3) и переменных. НОК(2, 3) = 6. Таким образом, общий знаменатель равен $6a$.
Домножим первую дробь на 3, а вторую на $2a$:
$\frac{1}{2a} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2a \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2a}{3 \cdot 2a} = \frac{3}{6a} - \frac{2a}{6a}$
Вычтем числители:
$\frac{3 - 2a}{6a}$
Ответ: $\frac{3-2a}{6a}$

е) Вычтем дробь $\frac{1}{bc}$ из дроби $\frac{1}{a}$. Знаменатели - $a$ и $bc$. Наименьший общий знаменатель - это их произведение $abc$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножим на $bc$, а вторую на $a$:
$\frac{1}{a} - \frac{1}{bc} = \frac{1 \cdot bc}{a \cdot bc} - \frac{1 \cdot a}{bc \cdot a} = \frac{bc}{abc} - \frac{a}{abc}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{bc - a}{abc}$
Ответ: $\frac{bc-a}{abc}$