Номер 510, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 510, страница 133.

Условие.

510. Подберите одночлен А так, чтобы равенство было верным:

а) $\frac{2}{3} = \frac{A}{3}$;

б) $\frac{7}{10} = \frac{28}{A}$;

в) $\frac{3}{8} = -\frac{A}{32}$;

г) $-\frac{1}{5} = \frac{15}{A}$;

д) $\frac{5}{a} = \frac{A}{ab}$;

е) $\frac{6x}{y} = \frac{A}{6xy^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) В равенстве $\frac{2}{3} = \frac{A}{3}$ знаменатели дробей равны. Следовательно, для того чтобы равенство было верным, числители также должны быть равны. Отсюда получаем, что $A = 2$.
Можно также решить это уравнение, используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$2 \cdot 3 = A \cdot 3$
$6 = 3A$
$A = \frac{6}{3}$
$A = 2$
Ответ: $A = 2$.

б) Дано равенство $\frac{7}{10} = \frac{28}{A}$. Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.
$7 \cdot A = 10 \cdot 28$
$7A = 280$
Разделим обе части уравнения на 7:
$A = \frac{280}{7}$
$A = 40$
Другой способ — заметить, что числитель правой дроби в 4 раза больше числителя левой ($28 : 7 = 4$). Значит, и знаменатель правой дроби должен быть в 4 раза больше знаменателя левой.
$A = 10 \cdot 4 = 40$.
Ответ: $A = 40$.

в) Дано равенство $\frac{3}{8} = -\frac{A}{32}$. Перепишем его как $\frac{3}{8} = \frac{-A}{32}$. Воспользуемся свойством пропорции:
$3 \cdot 32 = 8 \cdot (-A)$
$96 = -8A$
Разделим обе части на -8:
$A = \frac{96}{-8}$
$A = -12$
Можно также заметить, что знаменатель правой дроби в 4 раза больше знаменателя левой ($32 : 8 = 4$). Следовательно, числитель правой дроби должен быть в 4 раза больше числителя левой:
$-A = 3 \cdot 4$
$-A = 12$
$A = -12$
Ответ: $A = -12$.

г) Дано равенство $-\frac{1}{5} = \frac{15}{A}$. Запишем минус в числитель левой дроби: $\frac{-1}{5} = \frac{15}{A}$. Применим свойство пропорции:
$-1 \cdot A = 5 \cdot 15$
$-A = 75$
Умножим обе части на -1:
$A = -75$
Можно рассуждать иначе: чтобы из числителя -1 получить числитель 15, нужно умножить на -15 ($15 : (-1) = -15$). Значит, и знаменатель нужно умножить на -15:
$A = 5 \cdot (-15) = -75$.
Ответ: $A = -75$.

д) Дано равенство $\frac{5}{a} = \frac{A}{ab}$. Чтобы привести левую дробь к знаменателю $ab$, нужно домножить её числитель и знаменатель на $b$.
$\frac{5 \cdot b}{a \cdot b} = \frac{5b}{ab}$
Сравнивая с правой частью $\frac{A}{ab}$, видим, что $A = 5b$.
Проверим с помощью перекрестного умножения:
$5 \cdot (ab) = a \cdot A$
$5ab = aA$
Разделив обе части на $a$ (при $a \neq 0$), получаем:
$A = 5b$
Ответ: $A = 5b$.

е) Дано равенство $\frac{6x}{y} = \frac{A}{6xy^2}$. Чтобы найти одночлен $A$, определим, на какой множитель был умножен знаменатель $y$, чтобы получить $6xy^2$.
Множитель равен $\frac{6xy^2}{y} = 6xy$.
Следовательно, на этот же множитель нужно умножить и числитель левой дроби:
$A = 6x \cdot (6xy) = 36x^2y$.
Проверим с помощью перекрестного умножения:
$6x \cdot (6xy^2) = y \cdot A$
$36x^2y^2 = yA$
Разделив обе части на $y$ (при $y \neq 0$), получаем:
$A = \frac{36x^2y^2}{y} = 36x^2y$
Ответ: $A = 36x^2y$.