Номер 503, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 503, страница 132.

Условие.

503. По каким правилам складывают, вычитают, умножают и делят алгебраические дроби?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Сложение

Правила сложения алгебраических дробей зависят от того, одинаковые у них знаменатели или разные.

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
В виде формулы это правило записывается так: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$.

2. Сложение дробей с разными знаменателями. Если знаменатели дробей разные, их сначала нужно привести к общему знаменателю.
а) Находят наименьший общий знаменатель, для чего обычно раскладывают знаменатели исходных дробей на множители и находят их наименьшее общее кратное (НОК).
б) Для каждой дроби находят дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
в) Умножают числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
г) Складывают полученные дроби, у которых теперь одинаковые знаменатели.
Формула: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} + \frac{C \cdot B}{B \cdot D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$.

Ответ: Чтобы сложить алгебраические дроби, их приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, а знаменатель оставляют без изменений.

Вычитание

Вычитание алгебраических дробей выполняется по правилам, аналогичным сложению.

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же.
Формула: $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$.

2. Вычитание дробей с разными знаменателями. Дроби приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Формула: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D}$.

Ответ: Чтобы вычесть алгебраические дроби, их приводят к общему знаменателю, затем из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют без изменений.

Умножение

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение становится числителем новой дроби, а второе — её знаменателем.
На практике перед умножением числители и знаменатели раскладывают на множители и сокращают общие множители, если они есть.
Формула: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$.

Ответ: Произведение двух алгебраических дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

Деление

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Дробь, обратная данной, получается заменой её числителя на знаменатель, а знаменателя на числитель.
Формула: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$ (при условии, что $C \neq 0$).

Ответ: Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.