Номер 500, страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.2. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 500, страница 130.

Условие.

500. a) $ \frac{x}{3x - x^2} $ И $ \frac{4}{3 - x}; $

Б) $ \frac{1}{2 + x} $ И $ \frac{x - 1}{x^2 - 4}; $

В) $ \frac{3}{4 + 6x} $ И $ \frac{5x}{9x + 6}; $

Г) $ \frac{5x}{3 - x} $ И $ \frac{2}{x^2 - 9}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы привести дроби $ \frac{x}{3x - x^2} $ и $ \frac{4}{3 - x} $ к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $ 3x - x^2 = x(3 - x) $.
Знаменатель второй дроби: $ 3 - x $.

Наименьшим общим знаменателем будет выражение $ x(3 - x) $.
Для первой дроби дополнительный множитель не требуется, так как ее знаменатель уже является общим.
Для второй дроби $ \frac{4}{3 - x} $ дополнительный множитель равен $ x $. Умножим ее числитель и знаменатель на $ x $:
$ \frac{4 \cdot x}{(3 - x) \cdot x} = \frac{4x}{x(3 - x)} $.

Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю.

Ответ: $ \frac{x}{x(3 - x)} $ и $ \frac{4x}{x(3 - x)} $.

б) Приведем дроби $ \frac{1}{2 + x} $ и $ \frac{x - 1}{x^2 - 4} $ к общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби: $ 2 + x $.
Разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2) $.

Наименьший общий знаменатель: $ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 $.
Для первой дроби $ \frac{1}{2 + x} $ дополнительный множитель равен $ (x - 2) $. Умножим ее числитель и знаменатель на $ (x-2) $:
$ \frac{1 \cdot (x - 2)}{(x + 2) \cdot (x - 2)} = \frac{x - 2}{x^2 - 4} $.

Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $ \frac{x - 2}{x^2 - 4} $ и $ \frac{x - 1}{x^2 - 4} $.

в) Приведем дроби $ \frac{3}{4 + 6x} $ и $ \frac{5x}{9x + 6} $ к общему знаменателю.

Разложим на множители знаменатели обеих дробей, вынеся общий множитель за скобки:
Знаменатель первой дроби: $ 4 + 6x = 2(2 + 3x) $.
Знаменатель второй дроби: $ 9x + 6 = 3(3x + 2) $.

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное выражений $ 2(3x + 2) $ и $ 3(3x + 2) $. Он равен $ 2 \cdot 3 \cdot (3x + 2) = 6(3x + 2) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ 3 $.
$ \frac{3 \cdot 3}{2(3x + 2) \cdot 3} = \frac{9}{6(3x + 2)} $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ 2 $.
$ \frac{5x \cdot 2}{3(3x + 2) \cdot 2} = \frac{10x}{6(3x + 2)} $.

Ответ: $ \frac{9}{6(3x + 2)} $ и $ \frac{10x}{6(3x + 2)} $.

г) Приведем дроби $ \frac{5x}{3 - x} $ и $ \frac{2}{x^2 - 9} $ к общему знаменателю.

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов:
$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $.

Знаменатель первой дроби $ 3 - x $ можно представить как $ -(x - 3) $.
Таким образом, наименьший общий знаменатель для $ -(x-3) $ и $ (x - 3)(x + 3) $ будет $ (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9 $.

Преобразуем первую дробь. Сначала вынесем минус из знаменателя:
$ \frac{5x}{3 - x} = \frac{5x}{-(x - 3)} = \frac{-5x}{x - 3} $.

Теперь умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель $ (x + 3) $:
$ \frac{-5x \cdot (x + 3)}{(x - 3) \cdot (x + 3)} = \frac{-5x(x + 3)}{x^2 - 9} = \frac{-5x^2 - 15x}{x^2 - 9} $.

Вторая дробь $ \frac{2}{x^2 - 9} $ уже приведена к общему знаменателю.

Ответ: $ \frac{-5x^2 - 15x}{x^2 - 9} $ и $ \frac{2}{x^2 - 9} $.