Номер 493, страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 493, страница 128.

Условие.

493. а) $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$;

б) $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$;

В) $\frac{m^2 - n^2}{2m + 2n}$;

Г) $\frac{xm + xn}{m^2 - n^2}$;

Д) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$;

е) $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 2ab + a^2}$;

Ж) $\frac{n^2 - m^2}{(n - m)^2}$;

З) $\frac{p - p^2}{p^2 - 1}$;

И) $\frac{x + x^2}{x^3 - x}$;

К) $\frac{a^3 - 2a^2}{4 - a^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Получаем: $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$.
Сокращаем общий множитель $(a + b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(a - b)\cancel{(a + b)}}{\cancel{a + b}} = a - b$.
Ответ: $a - b$.

б) Для сокращения дроби $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$ разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Получаем: $\frac{x - 1}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(x - 1)$:
$\frac{\cancel{x - 1}}{\cancel{(x - 1)}(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$.
Ответ: $\frac{1}{x + 1}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 - n^2}{2m + 2n}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это разность квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$. В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2m + 2n = 2(m + n)$.
Получаем: $\frac{m^2 - n^2}{2m + 2n} = \frac{(m - n)(m + n)}{2(m + n)}$.
Сокращаем общий множитель $(m + n)$:
$\frac{(m - n)\cancel{(m + n)}}{2\cancel{(m + n)}} = \frac{m - n}{2}$.
Ответ: $\frac{m - n}{2}$.

г) Для сокращения дроби $\frac{xm + xn}{m^2 - n^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $xm + xn = x(m + n)$. Знаменатель — это разность квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.
Получаем: $\frac{xm + xn}{m^2 - n^2} = \frac{x(m + n)}{(m - n)(m + n)}$.
Сокращаем общий множитель $(m + n)$:
$\frac{x\cancel{(m + n)}}{(m - n)\cancel{(m + n)}} = \frac{x}{m - n}$.
Ответ: $\frac{x}{m - n}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это квадрат разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Знаменатель — это разность квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Получаем: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(x - 1)$:
$\frac{\cancel{(x - 1)}(x - 1)}{\cancel{(x - 1)}(x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}$.
Ответ: $\frac{x - 1}{x + 1}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 2ab + a^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Знаменатель — это квадрат суммы: $b^2 + 2ab + a^2 = (b + a)^2 = (a + b)^2$.
Получаем: $\frac{a^2 - b^2}{(a + b)^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)(a + b)}$.
Сокращаем общий множитель $(a + b)$:
$\frac{(a - b)\cancel{(a + b)}}{(a + b)\cancel{(a + b)}} = \frac{a - b}{a + b}$.
Ответ: $\frac{a - b}{a + b}$.

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{n^2 - m^2}{(n - m)^2}$, разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $n^2 - m^2 = (n - m)(n + m)$.
Получаем: $\frac{(n - m)(n + m)}{(n - m)^2} = \frac{(n - m)(n + m)}{(n - m)(n - m)}$.
Сокращаем общий множитель $(n - m)$:
$\frac{\cancel{(n - m)}(n + m)}{\cancel{(n - m)}(n - m)} = \frac{n + m}{n - m}$.
Ответ: $\frac{n + m}{n - m}$.

з) Для сокращения дроби $\frac{p - p^2}{p^2 - 1}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем $p$ за скобки: $p - p^2 = p(1 - p)$. Также, $p(1 - p) = -p(p - 1)$. Знаменатель — это разность квадратов: $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.
Получаем: $\frac{p(1 - p)}{(p - 1)(p + 1)} = \frac{-p(p - 1)}{(p - 1)(p + 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(p - 1)$:
$\frac{-p\cancel{(p - 1)}}{\cancel{(p - 1)}(p + 1)} = \frac{-p}{p + 1}$.
Ответ: $-\frac{p}{p + 1}$.

и) Чтобы сократить дробь $\frac{x + x^2}{x^3 - x}$, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем $x$ за скобки: $x + x^2 = x(1 + x)$. В знаменателе вынесем $x$ за скобки и затем применим формулу разности квадратов: $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$.
Получаем: $\frac{x(1 + x)}{x(x - 1)(x + 1)}$.
Сокращаем общие множители $x$ и $(1+x)$ (так как $1+x = x+1$):
$\frac{\cancel{x}\cancel{(1 + x)}}{\cancel{x}(x - 1)\cancel{(x + 1)}} = \frac{1}{x - 1}$.
Ответ: $\frac{1}{x - 1}$.

к) Для сокращения дроби $\frac{a^3 - 2a^2}{4 - a^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем $a^2$ за скобки: $a^3 - 2a^2 = a^2(a - 2)$. Знаменатель — это разность квадратов: $4 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$. Заметим, что $a - 2 = -(2 - a)$.
Получаем: $\frac{a^2(a - 2)}{(2 - a)(2 + a)} = \frac{a^2(-(2 - a))}{(2 - a)(2 + a)}$.
Сокращаем общий множитель $(2 - a)$:
$\frac{-a^2\cancel{(2 - a)}}{\cancel{(2 - a)}(2 + a)} = \frac{-a^2}{2 + a}$.
Ответ: $-\frac{a^2}{a + 2}$.