Номер 486, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 486, страница 127.

Условие.

486. Подберите одночлен или многочлен A так, чтобы равенство было верным:

a) $\frac{4a}{6a^3} = \frac{2}{A}$;

б) $\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{x}{A}$;

в) $\frac{3a^2(x+y)}{12ab(x+y)} = \frac{A}{4b}$;

г) $\frac{7mn(x-y)^2}{14(x-y)^3} = \frac{mn}{A}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Дано равенство $\frac{4a}{6a^3} = \frac{2}{A}$. Чтобы найти $A$, воспользуемся основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$4a \cdot A = 2 \cdot 6a^3$
$4aA = 12a^3$
Выразим $A$, разделив обе части уравнения на $4a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$A = \frac{12a^3}{4a}$
Сократим полученную дробь, разделив коэффициенты и вычитая степени у переменной $a$:
$A = 3a^{3-1} = 3a^2$
Ответ: $3a^2$.

б) Рассмотрим равенство $\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{x}{A}$. Для нахождения $A$ сначала упростим дробь в левой части.
Сократим числовые коэффициенты и переменные в одинаковых степенях:
$\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{12}{48} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y} = \frac{1}{4} \cdot x^{2-1} \cdot y^{1-1} = \frac{1}{4} \cdot x \cdot 1 = \frac{x}{4}$
Теперь равенство имеет вид:
$\frac{x}{4} = \frac{x}{A}$
Так как числители дробей равны, то для сохранения равенства их знаменатели также должны быть равны.
$A = 4$
Ответ: $4$.

в) Дано равенство $\frac{3a^2(x+y)}{12ab(x+y)} = \frac{A}{4b}$. Упростим левую часть равенства.
Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $3$, $a$ и $(x+y)$ (при условии, что $a \neq 0$ и $x+y \neq 0$):
$\frac{3a^2(x+y)}{12ab(x+y)} = \frac{3 \cdot a \cdot a \cdot (x+y)}{4 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot (x+y)} = \frac{a}{4b}$
Подставим упрощенное выражение в исходное равенство:
$\frac{a}{4b} = \frac{A}{4b}$
Поскольку знаменатели дробей одинаковы, для выполнения равенства числители также должны быть равны.
$A = a$
Ответ: $a$.

г) Рассмотрим равенство $\frac{7mn(x-y)^2}{14(x-y)^3} = \frac{mn}{A}$. Упростим левую часть, сократив дробь.
Общими множителями являются $7$ и $(x-y)^2$ (при условии, что $x-y \neq 0$):
$\frac{7mn(x-y)^2}{14(x-y)^3} = \frac{7}{14} \cdot \frac{mn}{1} \cdot \frac{(x-y)^2}{(x-y)^3} = \frac{1}{2} \cdot mn \cdot \frac{1}{(x-y)^{3-2}} = \frac{mn}{2(x-y)}$
Теперь равенство можно записать в виде:
$\frac{mn}{2(x-y)} = \frac{mn}{A}$
Так как числители дробей равны (и не равны нулю, если $m, n \neq 0$), то и их знаменатели должны быть равны.
$A = 2(x-y)$
Ответ: $2(x-y)$.