Номер 479, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 479, страница 124.

Условие.

479. a) $9x - 6x^2 + x^3;$

в) $25x - 10x^2 + x^3;$

д) $x^2 - 6x + 8;$

ж) $x^8 + 3x^4 + 4;$

и) $x^8 + x^4 + 1;$

л) $x^3 + 3x^2 + 3x - 26;$

б) $36x + 12x^2 + x^3;$

г) $x^2 - 12x + 35;$

e) $x^2 - 11x + 10;$

з) $x^8 - 5x^4 + 4;$

к) $x^3 - 3x^2 + 3x + 7;$

м) $x^3 + 3x^2 + 3x - 7.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Для разложения многочлена $9x - 6x^2 + x^3$ на множители сначала переставим его члены в порядке убывания степеней: $x^3 - 6x^2 + 9x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 6x + 9)$.

Выражение в скобках, $x^2 - 6x + 9$, является полным квадратом разности, так как соответствует формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=3$.

Таким образом, $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

В результате получаем: $x(x-3)^2$.

Ответ: $x(x-3)^2$.

б) Переставим члены многочлена $36x + 12x^2 + x^3$ в порядке убывания степеней: $x^3 + 12x^2 + 36x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 + 12x + 36)$.

Выражение в скобках, $x^2 + 12x + 36$, является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=6$.

Таким образом, $x^2 + 12x + 36 = (x+6)^2$.

В результате получаем: $x(x+6)^2$.

Ответ: $x(x+6)^2$.

в) Переставим члены многочлена $25x - 10x^2 + x^3$ в порядке убывания степеней: $x^3 - 10x^2 + 25x$.

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x^2 - 10x + 25)$.

Выражение в скобках, $x^2 - 10x + 25$, является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=x$ и $b=5$.

Таким образом, $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.

В результате получаем: $x(x-5)^2$.

Ответ: $x(x-5)^2$.

г) Для разложения квадратного трехчлена $x^2 - 12x + 35$ на множители найдем два числа, произведение которых равно $35$, а сумма равна $-12$.

Такими числами являются $-5$ и $-7$, так как $(-5) \cdot (-7) = 35$ и $(-5) + (-7) = -12$.

Следовательно, трехчлен раскладывается на множители: $(x-5)(x-7)$.

Ответ: $(x-5)(x-7)$.

д) Для разложения квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 8$ на множители найдем два числа, произведение которых равно $8$, а сумма равна $-6$.

Такими числами являются $-2$ и $-4$, так как $(-2) \cdot (-4) = 8$ и $(-2) + (-4) = -6$.

Следовательно, трехчлен раскладывается на множители: $(x-2)(x-4)$.

Ответ: $(x-2)(x-4)$.

е) Для разложения квадратного трехчлена $x^2 - 11x + 10$ на множители найдем два числа, произведение которых равно $10$, а сумма равна $-11$.

Такими числами являются $-1$ и $-10$, так как $(-1) \cdot (-10) = 10$ и $(-1) + (-10) = -11$.

Следовательно, трехчлен раскладывается на множители: $(x-1)(x-10)$.

Ответ: $(x-1)(x-10)$.

ж) Для разложения многочлена $x^8 + 3x^4 + 4$ применим метод выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата $(x^4+2)^2 = x^8 + 4x^4 + 4$.

$x^8 + 3x^4 + 4 = (x^8 + 4x^4 + 4) - x^4 = (x^4+2)^2 - (x^2)^2$.

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^4+2$ и $b=x^2$.

$(x^4+2 - x^2)(x^4+2 + x^2) = (x^4 - x^2 + 2)(x^4 + x^2 + 2)$.

Ответ: $(x^4 - x^2 + 2)(x^4 + x^2 + 2)$.

з) Для разложения многочлена $x^8 - 5x^4 + 4$ сделаем замену $y = x^4$. Выражение примет вид $y^2 - 5y + 4$.

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Найдем два числа, произведение которых равно $4$, а сумма $-5$. Это числа $-1$ и $-4$.

Таким образом, $y^2 - 5y + 4 = (y-1)(y-4)$.

Вернемся к исходной переменной: $(x^4-1)(x^4-4)$.

Каждый из множителей можно разложить дальше по формуле разности квадратов:

$x^4-1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)$.

$x^4-4 = (x^2)^2 - 2^2 = (x^2-2)(x^2+2)$.

Объединяя все множители, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^2-2)(x^2+2)$.

и) Для разложения многочлена $x^8 + x^4 + 1$ применим метод выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата $(x^4+1)^2 = x^8 + 2x^4 + 1$.

$x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4+1)^2 - (x^2)^2$.

Применим формулу разности квадратов: $(x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2) = (x^4-x^2+1)(x^4+x^2+1)$.

Множитель $x^4+x^2+1$ также можно разложить, выделив полный квадрат: $x^4+x^2+1 = (x^4+2x^2+1)-x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x)$.

Множитель $x^4-x^2+1$ является неприводимым над целыми числами.

Собираем все вместе.

Ответ: $(x^4 - x^2 + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$.

к) Выражение $x^3 - 3x^2 + 3x + 7$ похоже на формулу куба разности $(x-1)^3 = x^3-3x^2+3x-1$.

Представим многочлен в виде: $(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 8 = (x-1)^3 + 2^3$.

Теперь применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x-1$ и $b=2$.

$((x-1)+2)((x-1)^2 - (x-1) \cdot 2 + 2^2) = (x+1)(x^2-2x+1 - 2x+2 + 4) = (x+1)(x^2-4x+7)$.

Ответ: $(x+1)(x^2-4x+7)$.

л) Выражение $x^3 + 3x^2 + 3x - 26$ похоже на формулу куба суммы $(x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1$.

Представим многочлен в виде: $(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 27 = (x+1)^3 - 3^3$.

Теперь применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x+1$ и $b=3$.

$((x+1)-3)((x+1)^2 + (x+1) \cdot 3 + 3^2) = (x-2)(x^2+2x+1 + 3x+3 + 9) = (x-2)(x^2+5x+13)$.

Ответ: $(x-2)(x^2+5x+13)$.

м) Выражение $x^3 + 3x^2 + 3x - 7$ похоже на формулу куба суммы $(x+1)^3 = x^3+3x^2+3x+1$.

Представим многочлен в виде: $(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) - 8 = (x+1)^3 - 2^3$.

Теперь применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x+1$ и $b=2$.

$((x+1)-2)((x+1)^2 + (x+1) \cdot 2 + 2^2) = (x-1)(x^2+2x+1 + 2x+2 + 4) = (x-1)(x^2+4x+7)$.

Ответ: $(x-1)(x^2+4x+7)$.