Номер 476, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 476, страница 124.

Условие.

476. Доказываем. Задача Софии Жермен. Докажите, что при любых натуральных $a \neq 1$ каждое число вида $a^4 + 4$ является составным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Доказательство.

Чтобы доказать, что число вида $a^4 + 4$ является составным при любом натуральном $a \neq 1$, необходимо представить его в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше единицы.

Рассмотрим выражение $a^4 + 4$. Для его разложения на множители воспользуемся методом выделения полного квадрата. Добавим и вычтем слагаемое $4a^2$:

$a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат $(a^2+2)^2$. Выражение примет вид разности квадратов:

$(a^4 + 4a^2 + 4) - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2$

Теперь можно применить формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a^2 + 2)^2 - (2a)^2 = (a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a)$

Итак, мы получили разложение: $a^4 + 4 = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$.

Теперь необходимо показать, что при $a \ge 2$ (поскольку $a$ — натуральное число и $a \neq 1$) оба множителя являются целыми числами, которые больше 1.

Рассмотрим первый множитель: $a^2 - 2a + 2$. Его можно представить в виде $(a-1)^2 + 1$. Так как по условию $a \ge 2$, то $a-1 \ge 1$. Следовательно, $(a-1)^2 \ge 1$, а весь множитель $(a-1)^2 + 1 \ge 1 + 1 = 2$. Значит, первый множитель больше 1.

Рассмотрим второй множитель: $a^2 + 2a + 2$. Так как $a \ge 2$, то $a^2 \ge 4$ и $2a \ge 4$. Следовательно, весь множитель $a^2 + 2a + 2 \ge 4 + 4 + 2 = 10$. Значит, второй множитель также больше 1.

Мы представили число $a^4 + 4$ в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1. Это по определению означает, что число $a^4 + 4$ является составным для любого натурального $a > 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.