Номер 469, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 469, страница 123.

Условие.

469. Разложите выражение на множители, используя формулы сокращённого умножения:

а) $(a + b)^2 - c^2$;

б) $(a - b)^2 - c^2$;

в) $(x - y)^2 - (x + y)^2$;

г) $(a + b)^2 - (x + y)^2$;

д) $(2x - y)^2 - (3x - 2y)^2$;

е) $(m^2 - 4n)^2 - (m^2 - 2n)^2$;

ж) $(a + b)^2 + 2(a + b) + 1;

з) $(x - 2y)^2 + 4(x - 2y) + 4$;

и) $9a^2 - 6a(a + 1) + (a + 1)^2$;

к) $16m^2 - 8m(3 - m) + (3 - m)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Данное выражение представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В нашем случае $A = (a + b)$ и $B = c$.
Подставим эти значения в формулу:
$(a + b)^2 - c^2 = ((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$.
Ответ: $(a + b - c)(a + b + c)$.

б) Это выражение также является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = (a - b)$ и $B = c$.
Подставляем в формулу:
$(a - b)^2 - c^2 = ((a - b) - c)((a - b) + c) = (a - b - c)(a - b + c)$.
Ответ: $(a - b - c)(a - b + c)$.

в) Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = (x - y)$ и $B = (x + y)$.
$(x - y)^2 - (x + y)^2 = ((x - y) - (x + y))((x - y) + (x + y))$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(x - y - x - y)(x - y + x + y) = (-2y)(2x) = -4xy$.
Ответ: $-4xy$.

г) Применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = (a + b)$ и $B = (x + y)$.
$(a + b)^2 - (x + y)^2 = ((a + b) - (x + y))((a + b) + (x + y))$.
Раскроем внутренние скобки:
$(a + b - x - y)(a + b + x + y)$.
Ответ: $(a + b - x - y)(a + b + x + y)$.

д) Снова используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = (2x - y)$ и $B = (3x - 2y)$.
$((2x - y) - (3x - 2y))((2x - y) + (3x - 2y))$.
Упростим каждое выражение в скобках:
$(2x - y - 3x + 2y)(2x - y + 3x - 2y) = (-x + y)(5x - 3y) = (y - x)(5x - 3y)$.
Ответ: $(y - x)(5x - 3y)$.

е) Это разность квадратов, где $A = (m^2 - 4n)$ и $B = (m^2 - 2n)$.
Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$((m^2 - 4n) - (m^2 - 2n))((m^2 - 4n) + (m^2 - 2n))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(m^2 - 4n - m^2 + 2n)(m^2 - 4n + m^2 - 2n) = (-2n)(2m^2 - 6n)$.
Вынесем общий множитель 2 из второй скобки:
$-2n \cdot 2(m^2 - 3n) = -4n(m^2 - 3n)$.
Ответ: $-4n(m^2 - 3n)$.

ж) Выражение имеет вид $A^2 + 2AB + B^2$, что соответствует формуле квадрата суммы $(A + B)^2$.
Сделаем замену: пусть $A = (a + b)$. Тогда выражение примет вид $A^2 + 2A + 1$.
Это можно записать как $A^2 + 2 \cdot A \cdot 1 + 1^2$, что является квадратом суммы $(A + 1)^2$.
Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $A = (a + b)$:
$((a + b) + 1)^2 = (a + b + 1)^2$.
Ответ: $(a + b + 1)^2$.

з) Данное выражение похоже на формулу квадрата суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
Пусть $A = (x - 2y)$. Выражение преобразуется к виду $A^2 + 4A + 4$.
Заметим, что $4 = 2^2$ и $4A = 2 \cdot A \cdot 2$. Таким образом, мы имеем $A^2 + 2 \cdot A \cdot 2 + 2^2$, что является полным квадратом $(A + 2)^2$.
Подставим обратно $A = (x - 2y)$:
$((x - 2y) + 2)^2 = (x - 2y + 2)^2$.
Ответ: $(x - 2y + 2)^2$.

и) Выражение соответствует формуле квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
Определим $A$ и $B$. Первый член $9a^2 = (3a)^2$, поэтому можно предположить, что $A = 3a$.
Последний член $(a + 1)^2$, поэтому $B = (a + 1)$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (3a) \cdot (a + 1) = -6a(a + 1)$. Это совпадает со средним членом в исходном выражении.
Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат разности:
$(A - B)^2 = (3a - (a + 1))^2$.
Упростим выражение в скобках:
$(3a - a - 1)^2 = (2a - 1)^2$.
Ответ: $(2a - 1)^2$.

к) Данное выражение имеет структуру, схожую с квадратом разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
Рассмотрим члены выражения. Первый член $16m^2 = (4m)^2$, что позволяет нам предположить $A = 4m$.
Последний член — это $(3 - m)^2$, так что $B = (3 - m)$.
Теперь проверим, соответствует ли средний член $-2AB$:
$-2AB = -2 \cdot (4m) \cdot (3 - m) = -8m(3 - m)$.
Это в точности совпадает со средним членом в исходном выражении.
Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности:
$(A - B)^2 = (4m - (3 - m))^2$.
Раскроем скобки внутри и упростим:
$(4m - 3 + m)^2 = (5m - 3)^2$.
Ответ: $(5m - 3)^2$.