Номер 471, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 471, страница 123.

Условие.

471. a) $86x - 43y + 2ax - ay;$

б) $10by - 25bx - 6ay + 15ax;$

В) $x^2 + xy - xz - yz;$

Г) $m^4 + 2 - m - 2m^3;$

Д) $5a^2 - 5ab + 5b^2 - 5ab;$

е) $y - y^2 - y^3 + y^4;$

Ж) $b^3 + b^2c - b^2d - bcd;$

З) $x^2y - z^2x + y^2x - yz^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для разложения многочлена $86x - 43y + 2ax - ay$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(86x - 43y) + (2ax - ay)$
Вынесем общий множитель из каждой скобки. В первой скобке это $43$, во второй $a$:
$43(2x - y) + a(2x - y)$
Теперь мы видим общий множитель $(2x - y)$, который также можно вынести за скобки:
$(2x - y)(43 + a)$
Ответ: $(2x - y)(43 + a)$

б) Разложим многочлен $10by - 25bx - 6ay + 15ax$ на множители. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(10by - 25bx) + (-6ay + 15ax)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $5b$, из второй $-3a$ (выносим с минусом, чтобы получить одинаковые выражения в скобках):
$5b(2y - 5x) - 3a(2y - 5x)$
Вынесем общий множитель $(2y - 5x)$:
$(2y - 5x)(5b - 3a)$
Ответ: $(2y - 5x)(5b - 3a)$

в) Разложим многочлен $x^2 + xy - xz - yz$ на множители. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(x^2 + xy) + (-xz - yz)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $x$, из второй $-z$:
$x(x + y) - z(x + y)$
Вынесем общий множитель $(x + y)$:
$(x + y)(x - z)$
Ответ: $(x + y)(x - z)$

г) Разложим многочлен $m^4 + 2 - m - 2m^3$. Для удобства переставим слагаемые в порядке убывания степеней переменной $m$:
$m^4 - 2m^3 - m + 2$
Сгруппируем члены: $(m^4 - 2m^3) + (-m + 2)$.
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $m^3$, из второй $-1$:
$m^3(m - 2) - 1(m - 2)$
Вынесем общий множитель $(m - 2)$:
$(m - 2)(m^3 - 1)$
Выражение $m^3 - 1$ является разностью кубов и может быть разложено дальше по формуле $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$(m - 2)(m - 1)(m^2 + m + 1)$
Ответ: $(m - 2)(m - 1)(m^2 + m + 1)$

д) В многочлене $5a^2 - 5ab + 5b^2 - 5ab$ есть подобные слагаемые. Сначала приведем их:
$5a^2 - 10ab + 5b^2$
Теперь вынесем общий числовой множитель $5$ за скобки:
$5(a^2 - 2ab + b^2)$
Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Таким образом, получаем:
$5(a - b)^2$
Ответ: $5(a - b)^2$

е) Разложим многочлен $y - y^2 - y^3 + y^4$ на множители. Переставим слагаемые для удобства: $y^4 - y^3 - y^2 + y$. Сгруппируем их попарно:
$(y^4 - y^3) + (-y^2 + y)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $y^3$, из второй $-y$:
$y^3(y - 1) - y(y - 1)$
Вынесем общий множитель $(y - 1)$:
$(y - 1)(y^3 - y)$
Из второго множителя $(y^3 - y)$ можно вынести $y$:
$(y - 1)y(y^2 - 1)$
Выражение $y^2 - 1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(y - 1)(y + 1)$.
Окончательно получаем:
$y(y - 1)(y - 1)(y + 1) = y(y - 1)^2(y + 1)$
Ответ: $y(y - 1)^2(y + 1)$

ж) В многочлене $b^3 + b^2c - b^2d - bcd$ все члены содержат общий множитель $b$. Вынесем его за скобки:
$b(b^2 + bc - bd - cd)$
Теперь разложим на множители выражение в скобках методом группировки:
$b((b^2 + bc) + (-bd - cd))$
Вынесем общие множители из каждой внутренней группы:
$b(b(b + c) - d(b + c))$
Вынесем общий множитель $(b + c)$:
$b((b + c)(b - d))$
Ответ: $b(b + c)(b - d)$

з) Разложим многочлен $x^2y - z^2x + y^2x - yz^2$ на множители. Перегруппируем слагаемые: сгруппируем члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$. Удобнее сгруппировать следующим образом: $(x^2y + y^2x)$ и $(-z^2x - yz^2)$.
$(x^2y + y^2x) + (-z^2x - yz^2)$
Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой $xy$, из второй $-z^2$:
$xy(x + y) - z^2(x + y)$
Вынесем общий множитель $(x+y)$:
$(x + y)(xy - z^2)$
Ответ: $(x + y)(xy - z^2)$