Номер 478, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6.10. Разложение многочлена на множители. Параграф 6. Формулы сокращённого умножения. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 478, страница 124.

Условие.

478. а) $x^2 - y^2 - 10x - 12y - 11$;

Б) $x^2 - y^2 + 8x + 10y - 9$;

В) $4x^2 - y^2 - 4x - 6y - 8$;

Г) $x^2 - 4y^2 + 10x + 4y + 24$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а)

Для разложения на множители данного выражения сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$, а затем выделим полные квадраты.
$x^2 - y^2 - 10x - 12y - 11 = (x^2 - 10x) - (y^2 + 12y) - 11$.
Выделим полный квадрат для выражения с $x$:
$x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 = (x - 5)^2 - 25$.
Выделим полный квадрат для выражения с $y$:
$y^2 + 12y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 6 + 6^2 - 6^2 = (y + 6)^2 - 36$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$((x - 5)^2 - 25) - ((y + 6)^2 - 36) - 11 = (x - 5)^2 - 25 - (y + 6)^2 + 36 - 11$.
Сложим числовые слагаемые: $-25 + 36 - 11 = 0$.
В результате получаем разность квадратов: $(x - 5)^2 - (y + 6)^2$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x - 5) - (y + 6))((x - 5) + (y + 6)) = (x - 5 - y - 6)(x - 5 + y + 6) = (x - y - 11)(x + y + 1)$.

Ответ: $(x - y - 11)(x + y + 1)$.

б)

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты.
$x^2 - y^2 + 8x + 10y - 9 = (x^2 + 8x) - (y^2 - 10y) - 9$.
Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 + 8x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 - 4^2 = (x + 4)^2 - 16$.
Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 - 10y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 - 5^2 = (y - 5)^2 - 25$.
Подставим в исходное выражение:
$((x + 4)^2 - 16) - ((y - 5)^2 - 25) - 9 = (x + 4)^2 - 16 - (y - 5)^2 + 25 - 9$.
Сложим числовые слагаемые: $-16 + 25 - 9 = 0$.
Получаем разность квадратов: $(x + 4)^2 - (y - 5)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x + 4) - (y - 5))((x + 4) + (y - 5)) = (x + 4 - y + 5)(x + 4 + y - 5) = (x - y + 9)(x + y - 1)$.

Ответ: $(x - y + 9)(x + y - 1)$.

в)

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты.
$4x^2 - y^2 - 4x - 6y - 8 = (4x^2 - 4x) - (y^2 + 6y) - 8$.
Выделим полный квадрат для $x$: $4x^2 - 4x = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2x - 1)^2 - 1$.
Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 6y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 - 3^2 = (y + 3)^2 - 9$.
Подставим в исходное выражение:
$((2x - 1)^2 - 1) - ((y + 3)^2 - 9) - 8 = (2x - 1)^2 - 1 - (y + 3)^2 + 9 - 8$.
Сложим числовые слагаемые: $-1 + 9 - 8 = 0$.
Получаем разность квадратов: $(2x - 1)^2 - (y + 3)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((2x - 1) - (y + 3))((2x - 1) + (y + 3)) = (2x - 1 - y - 3)(2x - 1 + y + 3) = (2x - y - 4)(2x + y + 2)$.

Ответ: $(2x - y - 4)(2x + y + 2)$.

г)

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и с переменной $y$ и выделим полные квадраты.
$x^2 - 4y^2 + 10x + 4y + 24 = (x^2 + 10x) - (4y^2 - 4y) + 24$.
Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 + 10x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 - 5^2 = (x + 5)^2 - 25$.
Выделим полный квадрат для $y$: $4y^2 - 4y = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (2y - 1)^2 - 1$.
Подставим в исходное выражение:
$((x + 5)^2 - 25) - ((2y - 1)^2 - 1) + 24 = (x + 5)^2 - 25 - (2y - 1)^2 + 1 + 24$.
Сложим числовые слагаемые: $-25 + 1 + 24 = 0$.
Получаем разность квадратов: $(x + 5)^2 - (2y - 1)^2$.
Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x + 5) - (2y - 1))((x + 5) + (2y - 1)) = (x + 5 - 2y + 1)(x + 5 + 2y - 1) = (x - 2y + 6)(x + 2y + 4)$.

Ответ: $(x - 2y + 6)(x + 2y + 4)$.