Номер 480, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 480, страница 126.

Условие.

480. a) Что называют алгебраической дробью? числителем, знаменателем алгебраической дроби? Приведите примеры.

б) Сформулируйте свойства алгебраической дроби.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Алгебраической дробью называют выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ являются многочленами. Выражение $A$, которое находится над чертой дроби, называют числителем. Выражение $B$, которое находится под чертой дроби, называют знаменателем. Важным условием является то, что знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Примеры:
1. В дроби $\frac{x+y}{z}$ числителем является выражение $x+y$, а знаменателем — $z$ (дробь имеет смысл при $z \neq 0$).
2. В дроби $\frac{a^2-9}{a+3}$ числитель — это $a^2-9$, а знаменатель — $a+3$ (дробь имеет смысл при $a \neq -3$).
3. В дроби $\frac{7}{b-c}$ числитель — это число $7$ (многочлен нулевой степени), а знаменатель — $b-c$ (дробь имеет смысл при $b \neq c$).
Ответ: Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) — многочлены, причем $B$ не может быть равен нулю. Примеры: $\frac{a+b}{c}$, $\frac{x^2-1}{x+y}$.

б) Свойства алгебраической дроби аналогичны свойствам обыкновенной числовой дроби. Основными являются следующие свойства.
1. Основное свойство алгебраической дроби: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь. В виде формулы это свойство записывается так:
$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ (при условии, что $B \neq 0$ и $C \neq 0$).
Это свойство используется для приведения дробей к новому знаменателю и для сокращения дробей.
2. Свойства, связанные с изменением знака дроби:
- Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то и знак всей дроби изменится на противоположный: $-\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$.
- Если изменить знак одновременно и у числителя, и у знаменателя, то значение дроби не изменится: $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$.
Ответ: Основное свойство: значение дроби не меняется при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение ($\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$). Свойство знака: $\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$ и $\frac{-A}{-B} = \frac{A}{B}$.