Номер 487, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 487, страница 127.

Условие.

Сократите дробь (487–494):

487. а) $\frac{4}{8}$;

б) $\frac{8}{12}$;

в) $\frac{45}{210}$;

г) $\frac{256}{924}$;

д) $\frac{2a}{6}$;

е) $\frac{14a}{21ab}$;

ж) $\frac{x^5}{x^7}$;

з) $\frac{8m^3n}{12mn^2}$;

и) $\frac{24a^5b^6c}{36a^7b^4c}$;

к) $\frac{48x^3y^4z^3}{56xy^5z^4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{4}{8}$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 4 и знаменателя 8. НОД(4, 8) равен 4. Разделим числитель и знаменатель дроби на 4.

$\frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Сократим дробь $\frac{8}{12}$. Найдем НОД для 8 и 12. НОД(8, 12) равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4.

$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Сократим дробь $\frac{45}{210}$. Найдем НОД для 45 и 210. Разложим числа на простые множители: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. Общие множители - 3 и 5. Значит, НОД(45, 210) = $3 \cdot 5 = 15$. Разделим числитель и знаменатель на 15.

$\frac{45}{210} = \frac{45 \div 15}{210 \div 15} = \frac{3}{14}$

Ответ: $\frac{3}{14}$

г) Сократим дробь $\frac{256}{924}$. Найдем НОД для 256 и 924. Разложим на простые множители: $256 = 2^8$, $924 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$. Общий множитель - $2^2 = 4$. НОД(256, 924) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4.

$\frac{256}{924} = \frac{256 \div 4}{924 \div 4} = \frac{64}{231}$

Ответ: $\frac{64}{231}$

д) Сократим дробь $\frac{2a}{6}$. Здесь нужно сократить числовой коэффициент. НОД(2, 6) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2.

$\frac{2a}{6} = \frac{2 \cdot a}{2 \cdot 3} = \frac{a}{3}$

Ответ: $\frac{a}{3}$

е) Сократим дробь $\frac{14a}{21ab}$. Сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные. Для чисел НОД(14, 21) = 7. Для переменных можно сократить $a$ в числителе и знаменателе (при $a \neq 0, b \neq 0$).

$\frac{14a}{21ab} = \frac{7 \cdot 2 \cdot a}{7 \cdot 3 \cdot a \cdot b} = \frac{2}{3b}$

Ответ: $\frac{2}{3b}$

ж) Сократим дробь $\frac{x^5}{x^7}$. Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (или $\frac{1}{a^{n-m}}$ если $n > m$).

$\frac{x^5}{x^7} = \frac{1}{x^{7-5}} = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $\frac{1}{x^2}$

з) Сократим дробь $\frac{8m^3n}{12mn^2}$. Сократим числовые коэффициенты (НОД(8, 12) = 4) и переменные, используя свойства степеней.

$\frac{8m^3n}{12mn^2} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} \cdot \frac{m^3}{m} \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{2}{3} \cdot m^{3-1} \cdot \frac{1}{n^{2-1}} = \frac{2}{3} \cdot m^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{2m^2}{3n}$

Ответ: $\frac{2m^2}{3n}$

и) Сократим дробь $\frac{24a^5b^6c}{36a^7b^4c}$. Сократим числовые коэффициенты (НОД(24, 36) = 12) и переменные.

$\frac{24a^5b^6c}{36a^7b^4c} = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3} \cdot \frac{a^5}{a^7} \cdot \frac{b^6}{b^4} \cdot \frac{c}{c} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a^{7-5}} \cdot b^{6-4} \cdot 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot b^2 = \frac{2b^2}{3a^2}$

Ответ: $\frac{2b^2}{3a^2}$

к) Сократим дробь $\frac{48x^3y^4z^3}{56xy^5z^4}$. Сократим числовые коэффициенты (НОД(48, 56) = 8) и переменные.

$\frac{48x^3y^4z^3}{56xy^5z^4} = \frac{8 \cdot 6}{8 \cdot 7} \cdot \frac{x^3}{x} \cdot \frac{y^4}{y^5} \cdot \frac{z^3}{z^4} = \frac{6}{7} \cdot x^{3-1} \cdot \frac{1}{y^{5-4}} \cdot \frac{1}{z^{4-3}} = \frac{6}{7} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} = \frac{6x^2}{7yz}$

Ответ: $\frac{6x^2}{7yz}$