Номер 483, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 483, страница 126.

Условие.

483. Запишите алгебраическую дробь в виде многочлена, применив свойства алгебраических дробей:

а) $ \frac{x - 1}{1}; $

б) $ \frac{3x + y}{1}; $

в) $ \frac{x^2 + 3xy - y^2}{1}; $

г) $ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{1}; $

д) $ \frac{(x - y)6x}{3x}; $

е) $ \frac{15(x + y)}{5}; $

ж) $ \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x + y}; $

з) $ \frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x - 2y}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x-1}{1}$.
Основное свойство дроби гласит, что любое выражение, деленное на 1, равно самому этому выражению.
Поэтому, $\frac{x-1}{1} = x-1$.
Выражение $x-1$ является многочленом.
Ответ: $x-1$.

б)

Дана алгебраическая дробь $\frac{3x+y}{1}$.
Так как знаменатель дроби равен 1, то значение дроби равно её числителю.
Следовательно, $\frac{3x+y}{1} = 3x+y$.
Выражение $3x+y$ является многочленом.
Ответ: $3x+y$.

в)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x^2 + 3xy - y^2}{1}$.
По свойству деления на единицу, дробь равна своему числителю.
Следовательно, $\frac{x^2 + 3xy - y^2}{1} = x^2 + 3xy - y^2$.
Данное выражение уже является многочленом.
Ответ: $x^2 + 3xy - y^2$.

г)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{1}$.
Так как знаменатель равен 1, значение дроби равно её числителю.
Следовательно, $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{1} = x^2 - 2xy + y^2$.
Выражение в числителе также является полным квадратом разности $(x-y)^2$.
Ответ: $x^2 - 2xy + y^2$.

д)

Дана алгебраическая дробь $\frac{(x-y)6x}{3x}$.
Чтобы представить дробь в виде многочлена, нужно сократить ее. Для этого найдем общие множители в числителе и знаменателе.
Числитель: $(x-y)6x = (x-y) \cdot 2 \cdot 3x$.
Знаменатель: $3x$.
Общий множитель - $3x$. Сократим на него (при условии, что $x \neq 0$):
$\frac{(x-y) \cdot 2 \cdot 3x}{3x} = 2(x-y)$.
Теперь раскроем скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде:
$2(x-y) = 2x - 2y$.
Ответ: $2x - 2y$.

е)

Дана алгебраическая дробь $\frac{15(x+y)}{5}$.
Сократим числовые коэффициенты в числителе и знаменателе. Общий делитель для 15 и 5 - это 5.
$\frac{15(x+y)}{5} = \frac{3 \cdot 5 \cdot (x+y)}{5}$.
Сократив на 5, получаем:
$3(x+y)$.
Раскроем скобки, чтобы представить выражение в виде многочлена:
$3(x+y) = 3x + 3y$.
Ответ: $3x + 3y$.

ж)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x+y}$.
Заметим, что выражение в числителе $x^2 + 2xy + y^2$ является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Таким образом, $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{(x+y)^2}{x+y}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):
$\frac{(x+y)(x+y)}{x+y} = x+y$.
Ответ: $x+y$.

з)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x - 2y}$.
Рассмотрим числитель $x^2 - 4xy + 4y^2$. Это выражение является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2y$, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.
Заменим числитель на разложенное выражение:
$\frac{(x-2y)^2}{x-2y}$.
Теперь сократим дробь на общий множитель $(x-2y)$ (при условии, что $x-2y \neq 0$):
$\frac{(x-2y)(x-2y)}{x-2y} = x-2y$.
Ответ: $x-2y$.