Номер 488, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 7.1. Алгебраические дроби и их свойства. Параграф 7. Алгебраические дроби. Глава 2. Алгебраические выражения - номер 488, страница 127.

Условие.

488. a) $ \frac{2(x+y)}{4ax} $;

б) $ \frac{a+b}{a+b} $;

в) $ \frac{2(x-1)}{5(x-1)} $;

г) $ \frac{3a(a-b)^2}{6a(a-b)^2} $;

д) $ \frac{4x(x-y)^3}{16x^2y(x-y)} $;

е) $ \frac{25m^2n(a-b)}{35mn^2(a-b)^2} $;

ж) $ \frac{2p(p-q)(p^2+q^2)}{4q(p-q)(p^2+q^2)} $;

з) $ \frac{8a(a+b)^2(a-b)}{18a(a-b)(a+b)} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{2(x + y)}{4ax}$, найдем общие множители числителя и знаменателя. Числовые коэффициенты 2 и 4 имеют общий делитель 2. Сократим дробь на 2:
$\frac{2(x + y)}{4ax} = \frac{2 \cdot (x + y)}{2 \cdot 2 \cdot a \cdot x} = \frac{x+y}{2ax}$.
Ответ: $\frac{x+y}{2ax}$

б) В дроби $\frac{a + b}{a + b}$ числитель и знаменатель равны. Если знаменатель не равен нулю (то есть $a+b \neq 0$), то любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1.
$\frac{a+b}{a+b} = 1$.
Ответ: $1$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{2(x - 1)}{5(x - 1)}$, найдем общий множитель. В данном случае это выражение $(x-1)$. Сократим дробь на $(x-1)$, при условии, что $x-1 \neq 0$ (т.е. $x \neq 1$).
$\frac{2(x - 1)}{5(x - 1)} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

г) В дроби $\frac{3a(a - b)^2}{6a(a - b)^2}$ общими множителями являются $3$, $a$ и $(a-b)^2$. Сократим дробь на эти множители, при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq b$.
$\frac{3a(a - b)^2}{6a(a - b)^2} = \frac{3 \cdot a \cdot (a-b)^2}{2 \cdot 3 \cdot a \cdot (a-b)^2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Для сокращения дроби $\frac{4x(x - y)^3}{16x^2y(x - y)}$ разложим числитель и знаменатель на множители и сократим общие.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Сокращаем переменные: $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$.
Сокращаем выражения в скобках: $\frac{(x-y)^3}{x-y} = (x-y)^{3-1} = (x-y)^2$.
Собираем все вместе: $\frac{4x(x-y)^3}{16x^2y(x-y)} = \frac{\cancel{4}\cancel{x}(x-y)^2}{\cancel{16}_4 x^{\cancel{2}} y \cancel{(x-y)}} = \frac{(x-y)^2}{4xy}$.
Ответ: $\frac{(x-y)^2}{4xy}$

е) Сократим дробь $\frac{25m^2n(a - b)}{35mn^2(a - b)^2}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{25}{35} = \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 7} = \frac{5}{7}$.
Сокращаем переменные: $\frac{m^2}{m} = m$, $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$.
Сокращаем выражения в скобках: $\frac{a-b}{(a-b)^2} = \frac{1}{a-b}$.
Собираем результат: $\frac{25m^2n(a-b)}{35mn^2(a-b)^2} = \frac{5m}{7n(a-b)}$.
Ответ: $\frac{5m}{7n(a-b)}$

ж) Сократим дробь $\frac{2p(p - q)(p^2 + q^2)}{4q(p - q)(p^2 + q^2)}$.
Общие множители здесь $(p-q)$ и $(p^2+q^2)$. Сокращаем на них (при $p \neq q$).
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\frac{2p\cancel{(p - q)}\cancel{(p^2 + q^2)}}{4q\cancel{(p - q)}\cancel{(p^2 + q^2)}} = \frac{2p}{4q} = \frac{p}{2q}$.
Ответ: $\frac{p}{2q}$

з) Сократим дробь $\frac{8a(a + b)^2(a - b)}{18a(a - b)(a + b)}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
Сокращаем на общий множитель $a$ (при $a \neq 0$).
Сокращаем на общий множитель $(a-b)$ (при $a \neq b$).
Сокращаем на общий множитель $(a+b)$: $\frac{(a+b)^2}{a+b} = a+b$ (при $a \neq -b$).
Собираем результат: $\frac{8a(a+b)^2(a-b)}{18a(a-b)(a+b)} = \frac{4(a+b)}{9}$.
Ответ: $\frac{4(a+b)}{9}$