Страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

485. Приведите дроби:

а) $\frac{5}{36}$, $\frac{2}{x^2}$, $\frac{11}{3x}$, $\frac{7}{9x^2}$, $\frac{1}{4x}$ к знаменателю $36x^2$;

б) $\frac{1}{20y}$, $\frac{5}{x^2}$, $\frac{7}{20}$, $\frac{11}{2x}$, $\frac{3}{5xy}$ к знаменателю $20x^2y$.

Чтобы привести дроби к знаменателю $36x^2$, для каждой дроби найдем дополнительный множитель. Он равен частному от деления нового знаменателя на старый. Затем умножим числитель и знаменатель исходной дроби на найденный множитель.

Для дроби $\frac{5}{36}$ дополнительный множитель равен $\frac{36x^2}{36} = x^2$.
$\frac{5}{36} = \frac{5 \cdot x^2}{36 \cdot x^2} = \frac{5x^2}{36x^2}$.

Для дроби $\frac{2}{x^2}$ дополнительный множитель равен $\frac{36x^2}{x^2} = 36$.
$\frac{2}{x^2} = \frac{2 \cdot 36}{x^2 \cdot 36} = \frac{72}{36x^2}$.

Для дроби $\frac{11}{3x}$ дополнительный множитель равен $\frac{36x^2}{3x} = 12x$.
$\frac{11}{3x} = \frac{11 \cdot 12x}{3x \cdot 12x} = \frac{132x}{36x^2}$.

Для дроби $\frac{7}{9x^2}$ дополнительный множитель равен $\frac{36x^2}{9x^2} = 4$.
$\frac{7}{9x^2} = \frac{7 \cdot 4}{9x^2 \cdot 4} = \frac{28}{36x^2}$.

Для дроби $\frac{1}{4x}$ дополнительный множитель равен $\frac{36x^2}{4x} = 9x$.
$\frac{1}{4x} = \frac{1 \cdot 9x}{4x \cdot 9x} = \frac{9x}{36x^2}$.

Ответ: $\frac{5x^2}{36x^2}, \frac{72}{36x^2}, \frac{132x}{36x^2}, \frac{28}{36x^2}, \frac{9x}{36x^2}$.

Чтобы привести дроби к знаменателю $20x^2y$, для каждой дроби найдем дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый. Затем умножим числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель.

Для дроби $\frac{1}{20y}$ дополнительный множитель равен $\frac{20x^2y}{20y} = x^2$.
$\frac{1}{20y} = \frac{1 \cdot x^2}{20y \cdot x^2} = \frac{x^2}{20x^2y}$.

Для дроби $\frac{5}{x^2}$ дополнительный множитель равен $\frac{20x^2y}{x^2} = 20y$.
$\frac{5}{x^2} = \frac{5 \cdot 20y}{x^2 \cdot 20y} = \frac{100y}{20x^2y}$.

Для дроби $\frac{7}{20}$ дополнительный множитель равен $\frac{20x^2y}{20} = x^2y$.
$\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot x^2y}{20 \cdot x^2y} = \frac{7x^2y}{20x^2y}$.

Для дроби $\frac{11}{2x}$ дополнительный множитель равен $\frac{20x^2y}{2x} = 10xy$.
$\frac{11}{2x} = \frac{11 \cdot 10xy}{2x \cdot 10xy} = \frac{110xy}{20x^2y}$.

Для дроби $\frac{3}{5xy}$ дополнительный множитель равен $\frac{20x^2y}{5xy} = 4x$.
$\frac{3}{5xy} = \frac{3 \cdot 4x}{5xy \cdot 4x} = \frac{12x}{20x^2y}$.

Ответ: $\frac{x^2}{20x^2y}, \frac{100y}{20x^2y}, \frac{7x^2y}{20x^2y}, \frac{110xy}{20x^2y}, \frac{12x}{20x^2y}$.

486. Подберите одночлен или многочлен A так, чтобы равенство было верным:

a) $\frac{4a}{6a^3} = \frac{2}{A}$;

б) $\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{x}{A}$;

в) $\frac{3a^2(x+y)}{12ab(x+y)} = \frac{A}{4b}$;

г) $\frac{7mn(x-y)^2}{14(x-y)^3} = \frac{mn}{A}$.

а) Дано равенство $\frac{4a}{6a^3} = \frac{2}{A}$. Чтобы найти $A$, воспользуемся основным свойством пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов.
$4a \cdot A = 2 \cdot 6a^3$
$4aA = 12a^3$
Выразим $A$, разделив обе части уравнения на $4a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$A = \frac{12a^3}{4a}$
Сократим полученную дробь, разделив коэффициенты и вычитая степени у переменной $a$:
$A = 3a^{3-1} = 3a^2$
Ответ: $3a^2$.

б) Рассмотрим равенство $\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{x}{A}$. Для нахождения $A$ сначала упростим дробь в левой части.
Сократим числовые коэффициенты и переменные в одинаковых степенях:
$\frac{12x^2y}{48xy} = \frac{12}{48} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y} = \frac{1}{4} \cdot x^{2-1} \cdot y^{1-1} = \frac{1}{4} \cdot x \cdot 1 = \frac{x}{4}$
Теперь равенство имеет вид:
$\frac{x}{4} = \frac{x}{A}$
Так как числители дробей равны, то для сохранения равенства их знаменатели также должны быть равны.
$A = 4$
Ответ: $4$.

в) Дано равенство $\frac{3a^2(x+y)}{12ab(x+y)} = \frac{A}{4b}$. Упростим левую часть равенства.
Сократим общие множители в числителе и знаменателе: $3$, $a$ и $(x+y)$ (при условии, что $a \neq 0$ и $x+y \neq 0$):
$\frac{3a^2(x+y)}{12ab(x+y)} = \frac{3 \cdot a \cdot a \cdot (x+y)}{4 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot (x+y)} = \frac{a}{4b}$
Подставим упрощенное выражение в исходное равенство:
$\frac{a}{4b} = \frac{A}{4b}$
Поскольку знаменатели дробей одинаковы, для выполнения равенства числители также должны быть равны.
$A = a$
Ответ: $a$.

г) Рассмотрим равенство $\frac{7mn(x-y)^2}{14(x-y)^3} = \frac{mn}{A}$. Упростим левую часть, сократив дробь.
Общими множителями являются $7$ и $(x-y)^2$ (при условии, что $x-y \neq 0$):
$\frac{7mn(x-y)^2}{14(x-y)^3} = \frac{7}{14} \cdot \frac{mn}{1} \cdot \frac{(x-y)^2}{(x-y)^3} = \frac{1}{2} \cdot mn \cdot \frac{1}{(x-y)^{3-2}} = \frac{mn}{2(x-y)}$
Теперь равенство можно записать в виде:
$\frac{mn}{2(x-y)} = \frac{mn}{A}$
Так как числители дробей равны (и не равны нулю, если $m, n \neq 0$), то и их знаменатели должны быть равны.
$A = 2(x-y)$
Ответ: $2(x-y)$.

Сократите дробь (487–494):

487. а) $\frac{4}{8}$;

б) $\frac{8}{12}$;

в) $\frac{45}{210}$;

г) $\frac{256}{924}$;

д) $\frac{2a}{6}$;

е) $\frac{14a}{21ab}$;

ж) $\frac{x^5}{x^7}$;

з) $\frac{8m^3n}{12mn^2}$;

и) $\frac{24a^5b^6c}{36a^7b^4c}$;

к) $\frac{48x^3y^4z^3}{56xy^5z^4}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{4}{8}$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 4 и знаменателя 8. НОД(4, 8) равен 4. Разделим числитель и знаменатель дроби на 4.

$\frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Сократим дробь $\frac{8}{12}$. Найдем НОД для 8 и 12. НОД(8, 12) равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4.

$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) Сократим дробь $\frac{45}{210}$. Найдем НОД для 45 и 210. Разложим числа на простые множители: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$, $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$. Общие множители - 3 и 5. Значит, НОД(45, 210) = $3 \cdot 5 = 15$. Разделим числитель и знаменатель на 15.

$\frac{45}{210} = \frac{45 \div 15}{210 \div 15} = \frac{3}{14}$

Ответ: $\frac{3}{14}$

г) Сократим дробь $\frac{256}{924}$. Найдем НОД для 256 и 924. Разложим на простые множители: $256 = 2^8$, $924 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11$. Общий множитель - $2^2 = 4$. НОД(256, 924) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4.

$\frac{256}{924} = \frac{256 \div 4}{924 \div 4} = \frac{64}{231}$

Ответ: $\frac{64}{231}$

д) Сократим дробь $\frac{2a}{6}$. Здесь нужно сократить числовой коэффициент. НОД(2, 6) = 2. Разделим числитель и знаменатель на 2.

$\frac{2a}{6} = \frac{2 \cdot a}{2 \cdot 3} = \frac{a}{3}$

Ответ: $\frac{a}{3}$

е) Сократим дробь $\frac{14a}{21ab}$. Сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные. Для чисел НОД(14, 21) = 7. Для переменных можно сократить $a$ в числителе и знаменателе (при $a \neq 0, b \neq 0$).

$\frac{14a}{21ab} = \frac{7 \cdot 2 \cdot a}{7 \cdot 3 \cdot a \cdot b} = \frac{2}{3b}$

Ответ: $\frac{2}{3b}$

ж) Сократим дробь $\frac{x^5}{x^7}$. Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (или $\frac{1}{a^{n-m}}$ если $n > m$).

$\frac{x^5}{x^7} = \frac{1}{x^{7-5}} = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $\frac{1}{x^2}$

з) Сократим дробь $\frac{8m^3n}{12mn^2}$. Сократим числовые коэффициенты (НОД(8, 12) = 4) и переменные, используя свойства степеней.

$\frac{8m^3n}{12mn^2} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} \cdot \frac{m^3}{m} \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{2}{3} \cdot m^{3-1} \cdot \frac{1}{n^{2-1}} = \frac{2}{3} \cdot m^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{2m^2}{3n}$

Ответ: $\frac{2m^2}{3n}$

и) Сократим дробь $\frac{24a^5b^6c}{36a^7b^4c}$. Сократим числовые коэффициенты (НОД(24, 36) = 12) и переменные.

$\frac{24a^5b^6c}{36a^7b^4c} = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3} \cdot \frac{a^5}{a^7} \cdot \frac{b^6}{b^4} \cdot \frac{c}{c} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a^{7-5}} \cdot b^{6-4} \cdot 1 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{a^2} \cdot b^2 = \frac{2b^2}{3a^2}$

Ответ: $\frac{2b^2}{3a^2}$

к) Сократим дробь $\frac{48x^3y^4z^3}{56xy^5z^4}$. Сократим числовые коэффициенты (НОД(48, 56) = 8) и переменные.

$\frac{48x^3y^4z^3}{56xy^5z^4} = \frac{8 \cdot 6}{8 \cdot 7} \cdot \frac{x^3}{x} \cdot \frac{y^4}{y^5} \cdot \frac{z^3}{z^4} = \frac{6}{7} \cdot x^{3-1} \cdot \frac{1}{y^{5-4}} \cdot \frac{1}{z^{4-3}} = \frac{6}{7} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{z} = \frac{6x^2}{7yz}$

Ответ: $\frac{6x^2}{7yz}$

488. a) $ \frac{2(x+y)}{4ax} $;

б) $ \frac{a+b}{a+b} $;

в) $ \frac{2(x-1)}{5(x-1)} $;

г) $ \frac{3a(a-b)^2}{6a(a-b)^2} $;

д) $ \frac{4x(x-y)^3}{16x^2y(x-y)} $;

е) $ \frac{25m^2n(a-b)}{35mn^2(a-b)^2} $;

ж) $ \frac{2p(p-q)(p^2+q^2)}{4q(p-q)(p^2+q^2)} $;

з) $ \frac{8a(a+b)^2(a-b)}{18a(a-b)(a+b)} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{2(x + y)}{4ax}$, найдем общие множители числителя и знаменателя. Числовые коэффициенты 2 и 4 имеют общий делитель 2. Сократим дробь на 2:
$\frac{2(x + y)}{4ax} = \frac{2 \cdot (x + y)}{2 \cdot 2 \cdot a \cdot x} = \frac{x+y}{2ax}$.
Ответ: $\frac{x+y}{2ax}$

б) В дроби $\frac{a + b}{a + b}$ числитель и знаменатель равны. Если знаменатель не равен нулю (то есть $a+b \neq 0$), то любая дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна 1.
$\frac{a+b}{a+b} = 1$.
Ответ: $1$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{2(x - 1)}{5(x - 1)}$, найдем общий множитель. В данном случае это выражение $(x-1)$. Сократим дробь на $(x-1)$, при условии, что $x-1 \neq 0$ (т.е. $x \neq 1$).
$\frac{2(x - 1)}{5(x - 1)} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$

г) В дроби $\frac{3a(a - b)^2}{6a(a - b)^2}$ общими множителями являются $3$, $a$ и $(a-b)^2$. Сократим дробь на эти множители, при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq b$.
$\frac{3a(a - b)^2}{6a(a - b)^2} = \frac{3 \cdot a \cdot (a-b)^2}{2 \cdot 3 \cdot a \cdot (a-b)^2} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

д) Для сокращения дроби $\frac{4x(x - y)^3}{16x^2y(x - y)}$ разложим числитель и знаменатель на множители и сократим общие.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Сокращаем переменные: $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$.
Сокращаем выражения в скобках: $\frac{(x-y)^3}{x-y} = (x-y)^{3-1} = (x-y)^2$.
Собираем все вместе: $\frac{4x(x-y)^3}{16x^2y(x-y)} = \frac{\cancel{4}\cancel{x}(x-y)^2}{\cancel{16}_4 x^{\cancel{2}} y \cancel{(x-y)}} = \frac{(x-y)^2}{4xy}$.
Ответ: $\frac{(x-y)^2}{4xy}$

е) Сократим дробь $\frac{25m^2n(a - b)}{35mn^2(a - b)^2}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{25}{35} = \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 7} = \frac{5}{7}$.
Сокращаем переменные: $\frac{m^2}{m} = m$, $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$.
Сокращаем выражения в скобках: $\frac{a-b}{(a-b)^2} = \frac{1}{a-b}$.
Собираем результат: $\frac{25m^2n(a-b)}{35mn^2(a-b)^2} = \frac{5m}{7n(a-b)}$.
Ответ: $\frac{5m}{7n(a-b)}$

ж) Сократим дробь $\frac{2p(p - q)(p^2 + q^2)}{4q(p - q)(p^2 + q^2)}$.
Общие множители здесь $(p-q)$ и $(p^2+q^2)$. Сокращаем на них (при $p \neq q$).
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\frac{2p\cancel{(p - q)}\cancel{(p^2 + q^2)}}{4q\cancel{(p - q)}\cancel{(p^2 + q^2)}} = \frac{2p}{4q} = \frac{p}{2q}$.
Ответ: $\frac{p}{2q}$

з) Сократим дробь $\frac{8a(a + b)^2(a - b)}{18a(a - b)(a + b)}$.
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.
Сокращаем на общий множитель $a$ (при $a \neq 0$).
Сокращаем на общий множитель $(a-b)$ (при $a \neq b$).
Сокращаем на общий множитель $(a+b)$: $\frac{(a+b)^2}{a+b} = a+b$ (при $a \neq -b$).
Собираем результат: $\frac{8a(a+b)^2(a-b)}{18a(a-b)(a+b)} = \frac{4(a+b)}{9}$.
Ответ: $\frac{4(a+b)}{9}$

489. a) $\frac{x-y}{y-x}$;

б) $\frac{2(a-b)}{3(b-a)}$;

В) $\frac{4mn(m-n)}{2m(n-m)}$;

Г) $\frac{6a^2b^3(3-a)}{14ab^3(a-3)}.$

а) $\frac{x - y}{y - x}$

Чтобы упростить данную дробь, необходимо заметить, что числитель и знаменатель являются противоположными выражениями. Вынесем в знаменателе $-1$ за скобки, чтобы получить выражение, идентичное числителю.

$y - x = -1 \cdot (-y + x) = -(x - y)$

Теперь подставим это преобразование обратно в дробь:

$\frac{x - y}{y - x} = \frac{x - y}{-(x - y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$, при условии, что $x \neq y$ (иначе знаменатель обращается в ноль).

$\frac{1 \cdot (x - y)}{-1 \cdot (x - y)} = \frac{1}{-1} = -1$

Ответ: $-1$

б) $\frac{2(a - b)}{3(b - a)}$

В этом выражении, как и в предыдущем, множители в скобках в числителе и знаменателе противоположны друг другу. Преобразуем множитель в знаменателе:

$b - a = -(a - b)$

Подставим преобразованное выражение в исходную дробь:

$\frac{2(a - b)}{3(b - a)} = \frac{2(a - b)}{3(-(a - b))} = \frac{2(a - b)}{-3(a - b)}$

Сократим общий множитель $(a - b)$, при условии, что $a \neq b$.

$\frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$

Ответ: $-\frac{2}{3}$

в) $\frac{4mn(m - n)}{2m(n - m)}$

Для упрощения дроби выполним сокращение по шагам. Сначала преобразуем выражение в скобках в знаменателе:

$n - m = -(m - n)$

Теперь дробь имеет вид:

$\frac{4mn(m - n)}{2m(-(m - n))} = \frac{4mn(m - n)}{-2m(m - n)}$

Сократим дробь на общие множители, при условии, что $m \neq 0$ и $m \neq n$.

1. Сократим на числовой коэффициент 2: $\frac{2mn(m - n)}{-m(m - n)}$

2. Сократим на переменную $m$: $\frac{2n(m - n)}{-(m - n)}$

3. Сократим на выражение $(m - n)$: $\frac{2n}{-1}$

В результате получаем:

$-2n$

Ответ: $-2n$

г) $\frac{6a^2b^3(3 - a)}{14ab^3(a - 3)}$

Упростим данную дробь, последовательно сокращая общие множители. Заметим, что $(a - 3) = -(3 - a)$.

Подставим это в знаменатель:

$\frac{6a^2b^3(3 - a)}{14ab^3(-(3 - a))} = \frac{6a^2b^3(3 - a)}{-14ab^3(3 - a)}$

Теперь сократим общие множители, при условии, что $a \neq 0$, $b \neq 0$, $a \neq 3$.

$\frac{6a^2b^3}{-14ab^3}$

Сократим числовые коэффициенты 6 и -14 на их общий делитель 2:

$-\frac{3a^2b^3}{7ab^3}$

Сократим степени переменных:

$\frac{a^2}{a} = a^{2-1} = a$

$\frac{b^3}{b^3} = b^{3-3} = b^0 = 1$

Собрав все вместе, получаем:

$-\frac{3a}{7}$

Ответ: $-\frac{3a}{7}$

490. а) $ \frac{2x+2y}{4} $;

б) $ \frac{3a+3b}{6a} $;

в) $ \frac{4m-4n}{8mn} $;

г) $ \frac{12ab}{6a-6b} $;

д) $ \frac{2a-2b}{4a+4b} $;

е) $ \frac{6x+6y}{3x-3y} $.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{2x + 2y}{4}$, необходимо найти общий множитель в числителе и вынести его за скобки. Общим множителем для $2x$ и $2y$ является 2.
$\frac{2x + 2y}{4} = \frac{2(x + y)}{4}$
Теперь можно сократить дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2.
$\frac{2(x + y)}{4} = \frac{x + y}{2}$
Ответ: $\frac{x + y}{2}$

б) В дроби $\frac{3a + 3b}{6a}$ вынесем общий множитель 3 в числителе за скобки.
$\frac{3(a + b)}{6a}$
Сократим числовые коэффициенты 3 и 6 на их общий делитель 3.
$\frac{3(a + b)}{6a} = \frac{a + b}{2a}$
Ответ: $\frac{a + b}{2a}$

в) Рассмотрим дробь $\frac{4m - 4n}{8mn}$. В числителе вынесем общий множитель 4 за скобки.
$\frac{4(m - n)}{8mn}$
Сократим дробь на общий делитель 4.
$\frac{4(m - n)}{8mn} = \frac{m - n}{2mn}$
Ответ: $\frac{m - n}{2mn}$

г) В дроби $\frac{12ab}{6a - 6b}$ вынесем общий множитель 6 в знаменателе.
$\frac{12ab}{6(a - b)}$
Сократим числовые коэффициенты 12 и 6 на их общий делитель 6.
$\frac{12ab}{6(a - b)} = \frac{2ab}{a - b}$
Ответ: $\frac{2ab}{a - b}$

д) Для упрощения дроби $\frac{2a - 2b}{4a + 4b}$ вынесем общие множители за скобки и в числителе, и в знаменателе.
В числителе общий множитель 2: $2a - 2b = 2(a - b)$.
В знаменателе общий множитель 4: $4a + 4b = 4(a + b)$.
Получим дробь: $\frac{2(a - b)}{4(a + b)}$
Сократим числовые коэффициенты 2 и 4 на 2.
$\frac{2(a - b)}{4(a + b)} = \frac{a - b}{2(a + b)}$
Ответ: $\frac{a - b}{2(a + b)}$

е) Рассмотрим дробь $\frac{6x + 6y}{3x - 3y}$. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель 6: $6x + 6y = 6(x + y)$.
В знаменателе общий множитель 3: $3x - 3y = 3(x - y)$.
Дробь примет вид: $\frac{6(x + y)}{3(x - y)}$
Сократим числовые коэффициенты 6 и 3 на их общий делитель 3.
$\frac{6(x + y)}{3(x - y)} = \frac{2(x + y)}{x - y}$
Ответ: $\frac{2(x + y)}{x - y}$

491. a) $\frac{ax - bx}{cx + dx}$;

б) $\frac{ac + bc}{mc + nc}$;

В) $\frac{x^2}{x^2 + xy}$;

Г) $\frac{ab}{a - ab}$;

Д) $\frac{m^2n}{m^2n - mn^2}$;

е) $\frac{ax - bx}{xy + x^2}$;

Ж) $\frac{p^2 - p}{ap - bp}$;

З) $\frac{x^2 - xy}{2xy + 2x^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{ax - bx}{cx + dx}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель, вынеся за скобки общий множитель. В числителе выносим за скобки $x$: $ax - bx = x(a - b)$. В знаменателе также выносим за скобки $x$: $cx + dx = x(c + d)$. Исходная дробь принимает вид $\frac{x(a - b)}{x(c + d)}$. Теперь сокращаем дробь на общий множитель $x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $c+d \neq 0$). В результате получаем упрощенную дробь. Ответ: $\frac{a - b}{c + d}$

б) В дроби $\frac{ac + bc}{mc + nc}$ вынесем общий множитель $c$ за скобки в числителе и знаменателе. Числитель $ac + bc = c(a + b)$, знаменатель $mc + nc = c(m + n)$. Дробь становится равной $\frac{c(a + b)}{c(m + n)}$. Сокращаем на общий множитель $c$ (при $c \neq 0$ и $m+n \neq 0$). Ответ: $\frac{a + b}{m + n}$

в) В дроби $\frac{x^2}{x^2 + xy}$ разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель $x$ за скобки: $x^2 + xy = x(x + y)$. Дробь принимает вид $\frac{x^2}{x(x + y)}$. Сокращаем дробь на $x$ (при $x \neq 0$ и $x+y \neq 0$). Так как $x^2 = x \cdot x$, после сокращения в числителе останется $x$, а в знаменателе $x+y$. Ответ: $\frac{x}{x + y}$

г) В дроби $\frac{ab}{a - ab}$ вынесем общий множитель $a$ за скобки в знаменателе: $a - ab = a(1 - b)$. Дробь принимает вид $\frac{ab}{a(1 - b)}$. Сокращаем на общий множитель $a$ (при $a \neq 0$ и $1-b \neq 0$). В результате получаем $\frac{b}{1 - b}$. Ответ: $\frac{b}{1 - b}$

д) В дроби $\frac{m^2n}{m^2n - mn^2}$ вынесем общий множитель $mn$ за скобки в знаменателе: $m^2n - mn^2 = mn(m - n)$. Дробь принимает вид $\frac{m^2n}{mn(m - n)}$. Сокращаем дробь на общий множитель $mn$ (при $m \neq 0$, $n \neq 0$ и $m-n \neq 0$). Так как $m^2n = m \cdot mn$, после сокращения в числителе останется $m$. Ответ: $\frac{m}{m - n}$

е) В дроби $\frac{ax - bx}{xy + x^2}$ вынесем общий множитель $x$ за скобки и в числителе, и в знаменателе. Числитель: $ax - bx = x(a - b)$. Знаменатель: $xy + x^2 = x(y + x)$. Дробь принимает вид $\frac{x(a - b)}{x(y + x)}$. Сокращаем на $x$ (при $x \neq 0$ и $y+x \neq 0$) и получаем $\frac{a - b}{y + x}$. Ответ: $\frac{a - b}{x + y}$

ж) В дроби $\frac{p^2 - p}{ap - bp}$ вынесем общие множители за скобки. В числителе это $p$: $p^2 - p = p(p - 1)$. В знаменателе это также $p$: $ap - bp = p(a - b)$. Дробь принимает вид $\frac{p(p - 1)}{p(a - b)}$. Сокращаем на $p$ (при $p \neq 0$ и $a-b \neq 0$). Ответ: $\frac{p - 1}{a - b}$

з) В дроби $\frac{x^2 - xy}{2xy + 2x^2}$ вынесем общие множители за скобки. В числителе это $x$: $x^2 - xy = x(x - y)$. В знаменателе это $2x$: $2xy + 2x^2 = 2x(y + x)$. Дробь принимает вид $\frac{x(x - y)}{2x(y + x)}$. Сокращаем на $x$ (при $x \neq 0$ и $x+y \neq 0$). Ответ: $\frac{x - y}{2(x + y)}$

492. a) $\frac{3xy}{3x^2a - 3x}$;

б) $\frac{4m^2n}{6mn^2 - 8m^2n}$;

в) $\frac{3a^2 + 4ab}{9a^2b + 12ab^2}$;

г) $\frac{4xy - x^2}{4x^2y - x^3y}$;

д) $\frac{2mn - 6m^2}{12m^2n - 4mn^2}$;

е) $\frac{16p^3q^3 - 24p^2q^4}{12p^2q^3 - 8p^3q^2}$.

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{3xy}{3x^2a - 3x}$, необходимо разложить знаменатель на множители.
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки в знаменателе:
$3x^2a - 3x = 3x(ax - 1)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{3xy}{3x(ax - 1)}$
Сократим общие множители $3x$ в числителе и знаменателе:
$\frac{y}{ax - 1}$
Ответ: $\frac{y}{ax - 1}$

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{4m^2n}{6mn^2 - 8m^2n}$, разложим знаменатель на множители.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2mn$:
$6mn^2 - 8m^2n = 2mn(3n - 4m)$.
Подставим в дробь:
$\frac{4m^2n}{2mn(3n - 4m)}$
Сократим общие множители. Числовой коэффициент: $\frac{4}{2} = 2$. Переменные: $\frac{m^2}{m} = m$, $\frac{n}{n} = 1$.
$\frac{2m}{3n - 4m}$
Ответ: $\frac{2m}{3n - 4m}$

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{3a^2 + 4ab}{9a^2b + 12ab^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $3a^2 + 4ab = a(3a + 4b)$.
Знаменатель: $9a^2b + 12ab^2 = 3ab(3a + 4b)$.
Дробь принимает вид:
$\frac{a(3a + 4b)}{3ab(3a + 4b)}$
Сокращаем общие множители $a$ и $(3a + 4b)$:
$\frac{1}{3b}$
Ответ: $\frac{1}{3b}$

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{4xy - x^2}{4x^2y - x^3y}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $4xy - x^2 = x(4y - x)$.
Знаменатель: $4x^2y - x^3y = x^2y(4 - x)$.
Дробь принимает вид:
$\frac{x(4y - x)}{x^2y(4 - x)}$
Сократим общий множитель $x$ в числителе и знаменателе ($\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$):
$\frac{4y - x}{xy(4 - x)}$
Ответ: $\frac{4y - x}{xy(4 - x)}$

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{2mn - 6m^2}{12m^2n - 4mn^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $2mn - 6m^2 = 2m(n - 3m)$.
Знаменатель: $12m^2n - 4mn^2 = 4mn(3m - n)$.
Дробь принимает вид:
$\frac{2m(n - 3m)}{4mn(3m - n)}$
Заметим, что выражения в скобках отличаются знаком: $(n - 3m) = -(3m - n)$. Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-2m(3m - n)}{4mn(3m - n)}$
Теперь сократим общие множители $2m$ и $(3m - n)$:
$\frac{-1}{2n}$
Ответ: $-\frac{1}{2n}$

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{16p^3q^3 - 24p^2q^4}{12p^2q^3 - 8p^3q^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: вынесем за скобки общий множитель $8p^2q^3$.
$16p^3q^3 - 24p^2q^4 = 8p^2q^3(2p - 3q)$.
Знаменатель: вынесем за скобки общий множитель $4p^2q^2$.
$12p^2q^3 - 8p^3q^2 = 4p^2q^2(3q - 2p)$.
Дробь принимает вид:
$\frac{8p^2q^3(2p - 3q)}{4p^2q^2(3q - 2p)}$
Заметим, что $(2p - 3q) = -(3q - 2p)$. Вынесем минус за скобки в числителе:
$\frac{-8p^2q^3(3q - 2p)}{4p^2q^2(3q - 2p)}$
Сократим общие множители. $\frac{-8}{4}=-2$, $\frac{p^2}{p^2}=1$, $\frac{q^3}{q^2}=q$, и выражение в скобках $(3q-2p)$.
Получаем:
$-2q$
Ответ: $-2q$