Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

498. a) $ \frac{x}{2} $ и $ \frac{1}{3} $;

б) $ \frac{x}{5} $ и $ \frac{-3}{7} $;

в) $ \frac{2x}{5} $ и $ \frac{5}{-6} $;

г) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7x}{-4} $;

д) $ \frac{5}{3x} $ и $ \frac{7}{6} $;

е) $ \frac{11}{2x} $ и $ \frac{3}{7} $;

ж) $ \frac{4}{x} $ и $ \frac{3}{-x} $;

з) $ \frac{1}{5x} $ и $ \frac{13}{-10x} $;

и) $ \frac{3}{x} $ и $ \frac{x}{3} $.

а) Даны дроби $\frac{x}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

Знаменатели дробей: 2 и 3. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) чисел 2 и 3, то есть $НОК(2, 3) = 6$.

Приведем первую дробь к знаменателю 6. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 3 ($6 : 2 = 3$):
$\frac{x}{2} = \frac{x \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3x}{6}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 6. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2 ($6 : 3 = 2$):
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.

Ответ: $\frac{3x}{6}$ и $\frac{2}{6}$.

б) Даны дроби $\frac{x}{5}$ и $\frac{-3}{7}$.

Знаменатели дробей: 5 и 7. НОЗ для этих дробей равен $НОК(5, 7) = 35$.

Приведем первую дробь к знаменателю 35. Дополнительный множитель равен $35 : 5 = 7$:
$\frac{x}{5} = \frac{x \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{7x}{35}$.

Приведем вторую дробь к знаменателю 35. Дополнительный множитель равен $35 : 7 = 5$:
$\frac{-3}{7} = \frac{-3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{-15}{35}$.

Ответ: $\frac{7x}{35}$ и $\frac{-15}{35}$.

в) Даны дроби $\frac{2x}{5}$ и $\frac{5}{-6}$.

Сначала преобразуем вторую дробь, перенеся знак минус в числитель: $\frac{5}{-6} = -\frac{5}{6} = \frac{-5}{6}$.

Теперь нужно привести к общему знаменателю дроби $\frac{2x}{5}$ и $\frac{-5}{6}$. Знаменатели: 5 и 6. НОЗ равен $НОК(5, 6) = 30$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $30 : 5 = 6$.
$\frac{2x}{5} = \frac{2x \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{12x}{30}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $30 : 6 = 5$.
$\frac{-5}{6} = \frac{-5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{-25}{30}$.

Ответ: $\frac{12x}{30}$ и $\frac{-25}{30}$.

г) Даны дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{7x}{-4}$.

Преобразуем вторую дробь: $\frac{7x}{-4} = -\frac{7x}{4} = \frac{-7x}{4}$.

Приводим к общему знаменателю дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{-7x}{4}$. Знаменатели: 3 и 4. НОЗ равен $НОК(3, 4) = 12$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $12 : 3 = 4$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $12 : 4 = 3$.
$\frac{-7x}{4} = \frac{-7x \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{-21x}{12}$.

Ответ: $\frac{8}{12}$ и $\frac{-21x}{12}$.

д) Даны дроби $\frac{5}{3x}$ и $\frac{7}{6}$.

Знаменатели дробей: $3x$ и $6$. Общий знаменатель должен делиться на $3x$ и на $6$. Найдем НОК для числовых коэффициентов (3 и 6) и для переменных частей ($x$ и 1). $НОК(3, 6) = 6$. $НОК(x, 1) = x$. Таким образом, НОЗ равен $6x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $6x : (3x) = 2$.
$\frac{5}{3x} = \frac{5 \cdot 2}{3x \cdot 2} = \frac{10}{6x}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $6x : 6 = x$.
$\frac{7}{6} = \frac{7 \cdot x}{6 \cdot x} = \frac{7x}{6x}$.

Ответ: $\frac{10}{6x}$ и $\frac{7x}{6x}$.

е) Даны дроби $\frac{11}{2x}$ и $\frac{3}{7}$.

Знаменатели дробей: $2x$ и $7$. НОЗ равен $НОК(2x, 7)$. $НОК(2, 7) = 14$. $НОК(x, 1) = x$. Значит, НОЗ равен $14x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $14x : (2x) = 7$.
$\frac{11}{2x} = \frac{11 \cdot 7}{2x \cdot 7} = \frac{77}{14x}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $14x : 7 = 2x$.
$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2x}{7 \cdot 2x} = \frac{6x}{14x}$.

Ответ: $\frac{77}{14x}$ и $\frac{6x}{14x}$.

ж) Даны дроби $\frac{4}{x}$ и $\frac{3}{-x}$.

Преобразуем вторую дробь, перенеся знак минус из знаменателя в числитель: $\frac{3}{-x} = -\frac{3}{x} = \frac{-3}{x}$.

Теперь нужно привести к общему знаменателю дроби $\frac{4}{x}$ и $\frac{-3}{x}$. У этих дробей уже одинаковый знаменатель $x$.

Поэтому дроби в приведенном виде: $\frac{4}{x}$ и $\frac{-3}{x}$.

Ответ: $\frac{4}{x}$ и $\frac{-3}{x}$.

з) Даны дроби $\frac{1}{5x}$ и $\frac{13}{-10x}$.

Преобразуем вторую дробь: $\frac{13}{-10x} = \frac{-13}{10x}$.

Приводим к общему знаменателю дроби $\frac{1}{5x}$ и $\frac{-13}{10x}$. Знаменатели: $5x$ и $10x$. НОЗ равен $НОК(5x, 10x) = 10x$.

Вторая дробь уже имеет знаменатель $10x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $10x : (5x) = 2$.
$\frac{1}{5x} = \frac{1 \cdot 2}{5x \cdot 2} = \frac{2}{10x}$.

Ответ: $\frac{2}{10x}$ и $\frac{-13}{10x}$.

и) Даны дроби $\frac{3}{x}$ и $\frac{x}{3}$.

Знаменатели дробей: $x$ и $3$. НОЗ равен их произведению, то есть $3x$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $3x : x = 3$.
$\frac{3}{x} = \frac{3 \cdot 3}{x \cdot 3} = \frac{9}{3x}$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $3x : 3 = x$.
$\frac{x}{3} = \frac{x \cdot x}{3 \cdot x} = \frac{x^2}{3x}$.

Ответ: $\frac{9}{3x}$ и $\frac{x^2}{3x}$.

499. a) $ \frac{x}{x-2} $ и $ \frac{1}{2-x}; $

б) $ \frac{x}{5+x} $ и $ \frac{3}{x+5}; $

в) $ \frac{4x}{x-1} $ и $ \frac{2-7x}{1-x}; $

г) $ \frac{2x}{3x+6} $ и $ \frac{5}{x+2}; $

д) $ \frac{15}{2x-8} $ и $ \frac{7}{x-4}; $

е) $ \frac{3-x}{5-x} $ и $ \frac{5}{2x-10}. $

а) Даны дроби $\frac{x}{x-2}$ и $\frac{1}{2-x}$.Знаменатель второй дроби можно представить как $2-x = -(x-2)$.Чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем вторую дробь, умножив ее числитель и знаменатель на -1:$\frac{1}{2-x} = \frac{1 \cdot (-1)}{(2-x) \cdot (-1)} = \frac{-1}{-(2-x)} = \frac{-1}{x-2}$.Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $x-2$.
Ответ: $\frac{x}{x-2}$ и $\frac{-1}{x-2}$.

б) Даны дроби $\frac{x}{5+x}$ и $\frac{3}{x+5}$.В силу переместительного закона сложения $5+x = x+5$.Знаменатели дробей уже одинаковы.
Ответ: $\frac{x}{x+5}$ и $\frac{3}{x+5}$.

в) Даны дроби $\frac{4x}{x-1}$ и $\frac{2-7x}{1-x}$.Знаменатель второй дроби $1-x$ можно представить как $-(x-1)$.Приведем вторую дробь к знаменателю $x-1$, умножив ее числитель и знаменатель на -1:$\frac{2-7x}{1-x} = \frac{(2-7x) \cdot (-1)}{(1-x) \cdot (-1)} = \frac{-2+7x}{x-1} = \frac{7x-2}{x-1}$.Теперь обе дроби имеют общий знаменатель $x-1$.
Ответ: $\frac{4x}{x-1}$ и $\frac{7x-2}{x-1}$.

г) Даны дроби $\frac{2x}{3x+6}$ и $\frac{5}{x+2}$.Разложим знаменатель первой дроби на множители: $3x+6 = 3(x+2)$.Получаем дроби $\frac{2x}{3(x+2)}$ и $\frac{5}{x+2}$.Наименьший общий знаменатель для этих дробей - это $3(x+2)$.Первая дробь уже имеет этот знаменатель.Чтобы привести вторую дробь к общему знаменателю, умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 3:$\frac{5}{x+2} = \frac{5 \cdot 3}{(x+2) \cdot 3} = \frac{15}{3(x+2)}$.
Ответ: $\frac{2x}{3(x+2)}$ и $\frac{15}{3(x+2)}$.

д) Даны дроби $\frac{15}{2x-8}$ и $\frac{7}{x-4}$.Разложим знаменатель первой дроби на множители: $2x-8 = 2(x-4)$.Получаем дроби $\frac{15}{2(x-4)}$ и $\frac{7}{x-4}$.Наименьший общий знаменатель равен $2(x-4)$.Первая дробь уже приведена к этому знаменателю.Вторую дробь приведем к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 2:$\frac{7}{x-4} = \frac{7 \cdot 2}{(x-4) \cdot 2} = \frac{14}{2(x-4)}$.
Ответ: $\frac{15}{2(x-4)}$ и $\frac{14}{2(x-4)}$.

е) Даны дроби $\frac{3-x}{5-x}$ и $\frac{5}{2x-10}$.Разложим знаменатели на множители:$5-x = -(x-5)$$2x-10 = 2(x-5)$Наименьшим общим знаменателем будет $2(x-5)$.Преобразуем первую дробь. Сначала изменим знак в знаменателе и перед дробью:$\frac{3-x}{5-x} = \frac{3-x}{-(x-5)} = \frac{-(3-x)}{x-5} = \frac{x-3}{x-5}$.Теперь приведем ее к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на 2:$\frac{x-3}{x-5} = \frac{(x-3) \cdot 2}{(x-5) \cdot 2} = \frac{2x-6}{2(x-5)}$.Вторая дробь после разложения знаменателя на множители имеет вид $\frac{5}{2(x-5)}$ и уже приведена к общему знаменателю.
Ответ: $\frac{2x-6}{2(x-5)}$ и $\frac{5}{2(x-5)}$.

500. a) $ \frac{x}{3x - x^2} $ И $ \frac{4}{3 - x}; $

Б) $ \frac{1}{2 + x} $ И $ \frac{x - 1}{x^2 - 4}; $

В) $ \frac{3}{4 + 6x} $ И $ \frac{5x}{9x + 6}; $

Г) $ \frac{5x}{3 - x} $ И $ \frac{2}{x^2 - 9}. $

а) Чтобы привести дроби $ \frac{x}{3x - x^2} $ и $ \frac{4}{3 - x} $ к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $ 3x - x^2 = x(3 - x) $.
Знаменатель второй дроби: $ 3 - x $.

Наименьшим общим знаменателем будет выражение $ x(3 - x) $.
Для первой дроби дополнительный множитель не требуется, так как ее знаменатель уже является общим.
Для второй дроби $ \frac{4}{3 - x} $ дополнительный множитель равен $ x $. Умножим ее числитель и знаменатель на $ x $:
$ \frac{4 \cdot x}{(3 - x) \cdot x} = \frac{4x}{x(3 - x)} $.

Таким образом, мы привели дроби к общему знаменателю.

Ответ: $ \frac{x}{x(3 - x)} $ и $ \frac{4x}{x(3 - x)} $.

б) Приведем дроби $ \frac{1}{2 + x} $ и $ \frac{x - 1}{x^2 - 4} $ к общему знаменателю.

Знаменатель первой дроби: $ 2 + x $.
Разложим знаменатель второй дроби на множители, используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2) $.

Наименьший общий знаменатель: $ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 $.
Для первой дроби $ \frac{1}{2 + x} $ дополнительный множитель равен $ (x - 2) $. Умножим ее числитель и знаменатель на $ (x-2) $:
$ \frac{1 \cdot (x - 2)}{(x + 2) \cdot (x - 2)} = \frac{x - 2}{x^2 - 4} $.

Вторая дробь уже имеет общий знаменатель.

Ответ: $ \frac{x - 2}{x^2 - 4} $ и $ \frac{x - 1}{x^2 - 4} $.

в) Приведем дроби $ \frac{3}{4 + 6x} $ и $ \frac{5x}{9x + 6} $ к общему знаменателю.

Разложим на множители знаменатели обеих дробей, вынеся общий множитель за скобки:
Знаменатель первой дроби: $ 4 + 6x = 2(2 + 3x) $.
Знаменатель второй дроби: $ 9x + 6 = 3(3x + 2) $.

Наименьший общий знаменатель — это наименьшее общее кратное выражений $ 2(3x + 2) $ и $ 3(3x + 2) $. Он равен $ 2 \cdot 3 \cdot (3x + 2) = 6(3x + 2) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ 3 $.
$ \frac{3 \cdot 3}{2(3x + 2) \cdot 3} = \frac{9}{6(3x + 2)} $.

Дополнительный множитель для второй дроби: $ 2 $.
$ \frac{5x \cdot 2}{3(3x + 2) \cdot 2} = \frac{10x}{6(3x + 2)} $.

Ответ: $ \frac{9}{6(3x + 2)} $ и $ \frac{10x}{6(3x + 2)} $.

г) Приведем дроби $ \frac{5x}{3 - x} $ и $ \frac{2}{x^2 - 9} $ к общему знаменателю.

Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов:
$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $.

Знаменатель первой дроби $ 3 - x $ можно представить как $ -(x - 3) $.
Таким образом, наименьший общий знаменатель для $ -(x-3) $ и $ (x - 3)(x + 3) $ будет $ (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9 $.

Преобразуем первую дробь. Сначала вынесем минус из знаменателя:
$ \frac{5x}{3 - x} = \frac{5x}{-(x - 3)} = \frac{-5x}{x - 3} $.

Теперь умножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель $ (x + 3) $:
$ \frac{-5x \cdot (x + 3)}{(x - 3) \cdot (x + 3)} = \frac{-5x(x + 3)}{x^2 - 9} = \frac{-5x^2 - 15x}{x^2 - 9} $.

Вторая дробь $ \frac{2}{x^2 - 9} $ уже приведена к общему знаменателю.

Ответ: $ \frac{-5x^2 - 15x}{x^2 - 9} $ и $ \frac{2}{x^2 - 9} $.

501. a) $ \frac{x}{4x + x^2} $ И $ \frac{4}{3x + 12} $;

б) $ \frac{13x}{25 - x^2} $ И $ \frac{x - 1}{10 + 2x} $;

в) $ \frac{x - 3}{4 - x^2} $ И $ \frac{5x}{x^2 - 4} $;

г) $ \frac{2}{(x - 3)^2} $ И $ \frac{1 + x}{x^2 - 9} $.

а) Чтобы привести дроби $\frac{x}{4x + x^2}$ и $\frac{4}{3x + 12}$ к общему знаменателю, необходимо сначала разложить их знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $4x + x^2 = x(4 + x)$.

Знаменатель второй дроби: $3x + 12 = 3(x + 4)$.

Наименьшим общим знаменателем для выражений $x(x+4)$ и $3(x+4)$ является их наименьшее общее кратное, которое равно $3x(x+4)$.

Определим дополнительные множители для каждой дроби. Для первой дроби $\frac{x}{x(x+4)}$ дополнительный множитель — $3$. Для второй дроби $\frac{4}{3(x+4)}$ дополнительный множитель — $x$.

Теперь умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{x}{4x + x^2} = \frac{x \cdot 3}{x(x+4) \cdot 3} = \frac{3x}{3x(x+4)}$

$\frac{4}{3x + 12} = \frac{4 \cdot x}{3(x+4) \cdot x} = \frac{4x}{3x(x+4)}$

Ответ: $\frac{3x}{3x(x+4)}$ и $\frac{4x}{3x(x+4)}$.

б) Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{13x}{25 - x^2}$ и $\frac{x-1}{10 + 2x}$. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов: $25 - x^2 = (5-x)(5+x)$.

Знаменатель второй дроби, вынося общий множитель за скобки: $10 + 2x = 2(5+x)$.

Наименьший общий знаменатель для $(5-x)(5+x)$ и $2(5+x)$ равен $2(5-x)(5+x) = 2(25-x^2)$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{13x}{(5-x)(5+x)}$ — это $2$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{x-1}{2(5+x)}$ — это $(5-x)$.

Выполним преобразование дробей:

$\frac{13x}{25 - x^2} = \frac{13x \cdot 2}{(5-x)(5+x) \cdot 2} = \frac{26x}{2(25-x^2)}$

$\frac{x-1}{10 + 2x} = \frac{(x-1)(5-x)}{2(5+x)(5-x)} = \frac{5x-x^2-5+x}{2(25-x^2)} = \frac{-x^2+6x-5}{2(25-x^2)}$

Ответ: $\frac{26x}{2(25-x^2)}$ и $\frac{-x^2+6x-5}{2(25-x^2)}$.

в) Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{x-3}{4 - x^2}$ и $\frac{5x}{x^2 - 4}$. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $4 - x^2 = (2-x)(2+x)$.

Знаменатель второй дроби: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Заметим, что множители $(2-x)$ и $(x-2)$ отличаются только знаком: $2-x = -(x-2)$. Поэтому мы можем записать $4 - x^2 = -(x-2)(x+2) = -(x^2-4)$.

В качестве общего знаменателя удобно выбрать $x^2-4$. Тогда первую дробь нужно домножить на $-1$.

$\frac{x-3}{4 - x^2} = \frac{x-3}{-(x^2-4)} = \frac{-(x-3)}{x^2-4} = \frac{3-x}{x^2-4}$

Вторая дробь $\frac{5x}{x^2 - 4}$ уже имеет нужный знаменатель.

Ответ: $\frac{3-x}{x^2-4}$ и $\frac{5x}{x^2-4}$.

г) Приведем к общему знаменателю дроби $\frac{2}{(x - 3)^2}$ и $\frac{1+x}{x^2 - 9}$. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби уже представлен в виде множителей: $(x-3)^2 = (x-3)(x-3)$.

Знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Наименьший общий знаменатель для $(x-3)^2$ и $(x-3)(x+3)$ должен содержать каждый множитель в наивысшей встречающейся степени, то есть он равен $(x-3)^2(x+3)$.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{2}{(x-3)^2}$ равен $(x+3)$. Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1+x}{(x-3)(x+3)}$ равен $(x-3)$.

Преобразуем дроби:

$\frac{2}{(x-3)^2} = \frac{2(x+3)}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{2x+6}{(x-3)^2(x+3)}$

$\frac{1+x}{x^2 - 9} = \frac{(1+x)(x-3)}{(x-3)(x+3)(x-3)} = \frac{x-3+x^2-3x}{(x-3)^2(x+3)} = \frac{x^2-2x-3}{(x-3)^2(x+3)}$

Ответ: $\frac{2x+6}{(x-3)^2(x+3)}$ и $\frac{x^2-2x-3}{(x-3)^2(x+3)}$.

502. a) $\frac{3x}{x^2 + 4x + 4}$ И $\frac{x - 4}{5x + 10}$;

б) $\frac{1 + x}{x^2 + 2x + 4}$ И $\frac{x - 1}{x^3 - 8}$;

в) $\frac{x}{9 + 3x + x^2}$ И $\frac{5}{x^3 - 27}$;

г) $\frac{12}{(x - 3)^2}$ И $\frac{2 + x}{(3 - x)^2}$.

а)

Чтобы привести дроби $\frac{3x}{x^2 + 4x + 4}$ и $\frac{x-4}{5x+10}$ к общему знаменателю, сначала разложим их знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель за скобки: $5x + 10 = 5(x+2)$.

Таким образом, мы имеем дроби: $\frac{3x}{(x+2)^2}$ и $\frac{x-4}{5(x+2)}$.

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $(x+2)^2$ и $5(x+2)$ будет $5(x+2)^2$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби дополнительный множитель: $\frac{5(x+2)^2}{(x+2)^2} = 5$.

Для второй дроби дополнительный множитель: $\frac{5(x+2)^2}{5(x+2)} = x+2$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{3x}{(x+2)^2} = \frac{3x \cdot 5}{(x+2)^2 \cdot 5} = \frac{15x}{5(x+2)^2}$.

$\frac{x-4}{5(x+2)} = \frac{(x-4)(x+2)}{5(x+2)(x+2)} = \frac{x^2 + 2x - 4x - 8}{5(x+2)^2} = \frac{x^2 - 2x - 8}{5(x+2)^2}$.

Ответ: $\frac{15x}{5(x+2)^2}$ и $\frac{x^2 - 2x - 8}{5(x+2)^2}$.

б)

Рассмотрим дроби $\frac{1+x}{x^2+2x+4}$ и $\frac{x-1}{x^3-8}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $x^2+2x+4$ является неполным квадратом суммы и на множители не раскладывается. Знаменатель второй дроби является разностью кубов: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$.

Наименьший общий знаменатель равен $x^3 - 8$ или $(x-2)(x^2+2x+4)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2+2x+4} = x-2$.

Для второй дроби знаменатель уже является общим, поэтому дополнительный множитель равен 1.

Приведем первую дробь к общему знаменателю:

$\frac{1+x}{x^2+2x+4} = \frac{(1+x)(x-2)}{(x^2+2x+4)(x-2)} = \frac{x-2+x^2-2x}{x^3-8} = \frac{x^2-x-2}{x^3-8}$.

Вторая дробь остается без изменений: $\frac{x-1}{x^3-8}$.

Ответ: $\frac{x^2-x-2}{x^3-8}$ и $\frac{x-1}{x^3-8}$.

в)

Рассмотрим дроби $\frac{x}{9+3x+x^2}$ и $\frac{5}{x^3-27}$.

Разложим знаменатели на множители. Знаменатель первой дроби $x^2+3x+9$ является неполным квадратом суммы. Знаменатель второй дроби является разностью кубов: $x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)$.

Наименьший общий знаменатель равен $x^3 - 27$ или $(x-3)(x^2+3x+9)$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{x^2+3x+9} = x-3$.

Для второй дроби знаменатель уже является общим, поэтому дополнительный множитель равен 1.

Приведем первую дробь к общему знаменателю:

$\frac{x}{9+3x+x^2} = \frac{x(x-3)}{(x^2+3x+9)(x-3)} = \frac{x^2-3x}{x^3-27}$.

Вторая дробь остается без изменений: $\frac{5}{x^3-27}$.

Ответ: $\frac{x^2-3x}{x^3-27}$ и $\frac{5}{x^3-27}$.

г)

Рассмотрим дроби $\frac{12}{(x-3)^2}$ и $\frac{2+x}{(3-x)^2}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби, используя свойство квадрата: $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

$(3-x)^2 = (-(x-3))^2 = (x-3)^2$.

Таким образом, знаменатели обеих дробей одинаковы и равны $(x-3)^2$. Это и есть их общий знаменатель.

Дроби уже приведены к общему знаменателю. Вторую дробь можно переписать в виде $\frac{2+x}{(x-3)^2}$.

Ответ: $\frac{12}{(x-3)^2}$ и $\frac{2+x}{(x-3)^2}$.