Страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

493. а) $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$;

б) $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$;

В) $\frac{m^2 - n^2}{2m + 2n}$;

Г) $\frac{xm + xn}{m^2 - n^2}$;

Д) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$;

е) $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 2ab + a^2}$;

Ж) $\frac{n^2 - m^2}{(n - m)^2}$;

З) $\frac{p - p^2}{p^2 - 1}$;

И) $\frac{x + x^2}{x^3 - x}$;

К) $\frac{a^3 - 2a^2}{4 - a^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$, разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Получаем: $\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$.
Сокращаем общий множитель $(a + b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{(a - b)\cancel{(a + b)}}{\cancel{a + b}} = a - b$.
Ответ: $a - b$.

б) Для сокращения дроби $\frac{x - 1}{x^2 - 1}$ разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Получаем: $\frac{x - 1}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(x - 1)$:
$\frac{\cancel{x - 1}}{\cancel{(x - 1)}(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$.
Ответ: $\frac{1}{x + 1}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 - n^2}{2m + 2n}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это разность квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$. В знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2m + 2n = 2(m + n)$.
Получаем: $\frac{m^2 - n^2}{2m + 2n} = \frac{(m - n)(m + n)}{2(m + n)}$.
Сокращаем общий множитель $(m + n)$:
$\frac{(m - n)\cancel{(m + n)}}{2\cancel{(m + n)}} = \frac{m - n}{2}$.
Ответ: $\frac{m - n}{2}$.

г) Для сокращения дроби $\frac{xm + xn}{m^2 - n^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки: $xm + xn = x(m + n)$. Знаменатель — это разность квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$.
Получаем: $\frac{xm + xn}{m^2 - n^2} = \frac{x(m + n)}{(m - n)(m + n)}$.
Сокращаем общий множитель $(m + n)$:
$\frac{x\cancel{(m + n)}}{(m - n)\cancel{(m + n)}} = \frac{x}{m - n}$.
Ответ: $\frac{x}{m - n}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это квадрат разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Знаменатель — это разность квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
Получаем: $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{(x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(x - 1)$:
$\frac{\cancel{(x - 1)}(x - 1)}{\cancel{(x - 1)}(x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}$.
Ответ: $\frac{x - 1}{x + 1}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 2ab + a^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель — это разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Знаменатель — это квадрат суммы: $b^2 + 2ab + a^2 = (b + a)^2 = (a + b)^2$.
Получаем: $\frac{a^2 - b^2}{(a + b)^2} = \frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)(a + b)}$.
Сокращаем общий множитель $(a + b)$:
$\frac{(a - b)\cancel{(a + b)}}{(a + b)\cancel{(a + b)}} = \frac{a - b}{a + b}$.
Ответ: $\frac{a - b}{a + b}$.

ж) Чтобы сократить дробь $\frac{n^2 - m^2}{(n - m)^2}$, разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $n^2 - m^2 = (n - m)(n + m)$.
Получаем: $\frac{(n - m)(n + m)}{(n - m)^2} = \frac{(n - m)(n + m)}{(n - m)(n - m)}$.
Сокращаем общий множитель $(n - m)$:
$\frac{\cancel{(n - m)}(n + m)}{\cancel{(n - m)}(n - m)} = \frac{n + m}{n - m}$.
Ответ: $\frac{n + m}{n - m}$.

з) Для сокращения дроби $\frac{p - p^2}{p^2 - 1}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем $p$ за скобки: $p - p^2 = p(1 - p)$. Также, $p(1 - p) = -p(p - 1)$. Знаменатель — это разность квадратов: $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.
Получаем: $\frac{p(1 - p)}{(p - 1)(p + 1)} = \frac{-p(p - 1)}{(p - 1)(p + 1)}$.
Сокращаем общий множитель $(p - 1)$:
$\frac{-p\cancel{(p - 1)}}{\cancel{(p - 1)}(p + 1)} = \frac{-p}{p + 1}$.
Ответ: $-\frac{p}{p + 1}$.

и) Чтобы сократить дробь $\frac{x + x^2}{x^3 - x}$, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем $x$ за скобки: $x + x^2 = x(1 + x)$. В знаменателе вынесем $x$ за скобки и затем применим формулу разности квадратов: $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$.
Получаем: $\frac{x(1 + x)}{x(x - 1)(x + 1)}$.
Сокращаем общие множители $x$ и $(1+x)$ (так как $1+x = x+1$):
$\frac{\cancel{x}\cancel{(1 + x)}}{\cancel{x}(x - 1)\cancel{(x + 1)}} = \frac{1}{x - 1}$.
Ответ: $\frac{1}{x - 1}$.

к) Для сокращения дроби $\frac{a^3 - 2a^2}{4 - a^2}$ разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем $a^2$ за скобки: $a^3 - 2a^2 = a^2(a - 2)$. Знаменатель — это разность квадратов: $4 - a^2 = (2 - a)(2 + a)$. Заметим, что $a - 2 = -(2 - a)$.
Получаем: $\frac{a^2(a - 2)}{(2 - a)(2 + a)} = \frac{a^2(-(2 - a))}{(2 - a)(2 + a)}$.
Сокращаем общий множитель $(2 - a)$:
$\frac{-a^2\cancel{(2 - a)}}{\cancel{(2 - a)}(2 + a)} = \frac{-a^2}{2 + a}$.
Ответ: $-\frac{a^2}{a + 2}$.

494. а) $ \frac{3m - 3n}{m^3 - n^3} $;

б) $ \frac{1 - a^3}{1 + a + a^2} $;

В) $ \frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2} $;

Г) $ \frac{2p^2 - 2p + 2}{p^3 + 1} $;

Д) $ \frac{d^2 - 4a + 4}{a^2 - 4} $;

е) $ \frac{3x^2 + 6xy + 3y^2}{12y^2 - 12x^2} $;

Ж) $ \frac{m^2 - n^2}{n^3 - m^3} $;

З) $ \frac{2p^3 - 2q^3}{4q^2 - 4p^2} $;

И) $ \frac{6a^2 - 6b^2}{3a^3 + 3b^3} $;

К) $ \frac{(x^3 - y^3)(x + y)}{x^2 - y^2} $.

а) Чтобы упростить дробь $\frac{3m - 3n}{m^3 - n^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель 3: $3(m - n)$. Знаменатель разложим по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$. Получим выражение: $\frac{3(m - n)}{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}$. Сократим одинаковый множитель $(m - n)$ в числителе и знаменателе. Ответ: $\frac{3}{m^2 + mn + n^2}$.

б) В дроби $\frac{1 - a^3}{1 + a + a^2}$ разложим числитель по формуле разности кубов $1^3 - a^3 = (1 - a)(1^2 + 1 \cdot a + a^2) = (1 - a)(1 + a + a^2)$. Знаменатель $1 + a + a^2$ уже является одним из множителей. Получаем: $\frac{(1 - a)(1 + a + a^2)}{1 + a + a^2}$. Сокращаем общий множитель $(1 + a + a^2)$. Ответ: $1 - a$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{x^3 - y^3}{x^2 - y^2}$. Разложим числитель по формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Знаменатель разложим по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Дробь принимает вид: $\frac{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}{(x - y)(x + y)}$. Сократим общий множитель $(x - y)$. Ответ: $\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}$.

г) В дроби $\frac{2p^2 - 2p + 2}{p^3 + 1}$ вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки: $2(p^2 - p + 1)$. Знаменатель разложим по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$: $p^3 + 1^3 = (p + 1)(p^2 - p + 1)$. Получаем: $\frac{2(p^2 - p + 1)}{(p + 1)(p^2 - p + 1)}$. Сократим общий множитель $(p^2 - p + 1)$. Ответ: $\frac{2}{p + 1}$.

д) Упростим дробь $\frac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 4}$. Числитель является полным квадратом разности $a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$. Знаменатель является разностью квадратов $a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2)$. Дробь преобразуется к виду $\frac{(a - 2)^2}{(a - 2)(a + 2)}$. Сокращаем общий множитель $(a - 2)$. Ответ: $\frac{a - 2}{a + 2}$.

е) Рассмотрим дробь $\frac{3x^2 + 6xy + 3y^2}{12y^2 - 12x^2}$. В числителе вынесем за скобки 3 и применим формулу квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$: $3(x^2 + 2xy + y^2) = 3(x+y)^2$. В знаменателе вынесем за скобки 12 и применим формулу разности квадратов: $12(y^2 - x^2) = 12(y - x)(y + x)$. Подставим разложения в дробь: $\frac{3(x+y)^2}{12(y-x)(y+x)}$. Сократим общий множитель $(x+y)$ и числовые коэффициенты (3 и 12 на 3): $\frac{x+y}{4(y-x)}$. Ответ: $\frac{x+y}{4(y-x)}$.

ж) Упростим выражение $\frac{m^2 - n^2}{n^3 - m^3}$. Числитель разложим по формуле разности квадратов: $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$. Знаменатель разложим по формуле разности кубов: $n^3 - m^3 = (n - m)(n^2 + nm + m^2)$. Чтобы можно было сократить дробь, вынесем в знаменателе -1 за скобки: $(n - m) = -(m - n)$. Дробь примет вид: $\frac{(m - n)(m + n)}{-(m - n)(n^2 + mn + m^2)}$. Сократив $(m-n)$, получим $\frac{m + n}{-(n^2 + mn + m^2)}$. Ответ: $-\frac{m+n}{m^2+mn+n^2}$.

з) В дроби $\frac{2p^3 - 2q^3}{4q^2 - 4p^2}$ вынесем общие множители: в числителе 2, в знаменателе 4. Получим $\frac{2(p^3 - q^3)}{4(q^2 - p^2)}$. Применим формулы разности кубов и разности квадратов: $\frac{2(p - q)(p^2 + pq + q^2)}{4(q - p)(q + p)}$. Заметим, что $(q - p) = -(p - q)$. Перепишем дробь: $\frac{2(p - q)(p^2 + pq + q^2)}{-4(p - q)(p + q)}$. Сократим общий множитель $(p-q)$ и числовые коэффициенты (2 и -4 на 2): $\frac{p^2 + pq + q^2}{-2(p + q)}$. Ответ: $-\frac{p^2 + pq + q^2}{2(p + q)}$.

и) Упростим $\frac{6a^2 - 6b^2}{3a^3 + 3b^3}$. Вынесем общие множители: $\frac{6(a^2 - b^2)}{3(a^3 + b^3)}$. Разложим числитель по формуле разности квадратов, а знаменатель по формуле суммы кубов: $\frac{6(a - b)(a + b)}{3(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$. Сократим общий множитель $(a+b)$ и числовые коэффициенты (6 и 3 на 3). Ответ: $\frac{2(a - b)}{a^2 - ab + b^2}$.

к) Рассмотрим выражение $\frac{(x^3 - y^3)(x + y)}{x^2 - y^2}$. Разложим на множители числитель и знаменатель. Числитель: $(x^3 - y^3)(x+y) = (x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)$. Знаменатель: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Подставляем в дробь: $\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x+y)}{(x-y)(x+y)}$. Сокращаем общие множители $(x-y)$ и $(x+y)$. Ответ: $x^2+xy+y^2$.

495. Составьте дробь, которая сокращалась бы на:

а) $2$;

б) $3ab$;

в) $a + 5$;

г) $-7m$;

д) $a(x - 2y)$;

е) $p^2 - q^2$.

а) Чтобы составить дробь, которая сокращается на 2, нужно, чтобы и числитель, и знаменатель содержали множитель 2. Для этого возьмем два разных множителя, например 4 и 7, и составим дробь, где числитель будет $2 \cdot 4 = 8$, а знаменатель $2 \cdot 7 = 14$. Такая дробь будет сокращаться на 2.

Ответ: $\frac{8}{14}$

б) Чтобы дробь сокращалась на одночлен $3ab$, он должен быть общим множителем для числителя и знаменателя. Умножим $3ab$ на два разных выражения, например, на 2 и на $x$. Получим дробь $\frac{2 \cdot 3ab}{x \cdot 3ab} = \frac{6ab}{3abx}$.

Ответ: $\frac{6ab}{3abx}$

в) Чтобы дробь сокращалась на многочлен $a+5$, он должен быть общим множителем числителя и знаменателя. Умножим $(a+5)$ на два разных выражения, например, на 3 и на $b$. Получим дробь $\frac{3(a+5)}{b(a+5)}$.

Ответ: $\frac{3(a+5)}{b(a+5)}$

г) Чтобы дробь сокращалась на $-7m$, этот одночлен должен быть общим множителем. Умножим $-7m$ на два разных выражения, например, на 5 и на $k$. Получим дробь $\frac{5(-7m)}{k(-7m)} = \frac{-35m}{-7mk}$.

Ответ: $\frac{-35m}{-7mk}$

д) Чтобы дробь сокращалась на выражение $a(x-2y)$, оно должно быть общим множителем. Умножим $a(x-2y)$ на два разных выражения, например, на $y$ и на 10. Получим дробь $\frac{y \cdot a(x-2y)}{10 \cdot a(x-2y)} = \frac{ay(x-2y)}{10a(x-2y)}$.

Ответ: $\frac{ay(x-2y)}{10a(x-2y)}$

е) Чтобы дробь сокращалась на $p^2-q^2$, это выражение должно быть общим множителем числителя и знаменателя. Умножим $(p^2-q^2)$ на два разных выражения, например, на $x$ и на $y$. Получим дробь $\frac{x(p^2-q^2)}{y(p^2-q^2)}$. Можно также использовать разложение на множители $p^2-q^2 = (p-q)(p+q)$ для создания более сложных примеров, но предложенный вариант является самым простым и наглядным.

Ответ: $\frac{x(p^2-q^2)}{y(p^2-q^2)}$