Страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

503. По каким правилам складывают, вычитают, умножают и делят алгебраические дроби?

Сложение

Правила сложения алгебраических дробей зависят от того, одинаковые у них знаменатели или разные.

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
В виде формулы это правило записывается так: $\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$.

2. Сложение дробей с разными знаменателями. Если знаменатели дробей разные, их сначала нужно привести к общему знаменателю.
а) Находят наименьший общий знаменатель, для чего обычно раскладывают знаменатели исходных дробей на множители и находят их наименьшее общее кратное (НОК).
б) Для каждой дроби находят дополнительный множитель, разделив общий знаменатель на знаменатель этой дроби.
в) Умножают числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
г) Складывают полученные дроби, у которых теперь одинаковые знаменатели.
Формула: $\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot D} + \frac{C \cdot B}{B \cdot D} = \frac{A \cdot D + C \cdot B}{B \cdot D}$.

Ответ: Чтобы сложить алгебраические дроби, их приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, а знаменатель оставляют без изменений.

Вычитание

Вычитание алгебраических дробей выполняется по правилам, аналогичным сложению.

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить тем же.
Формула: $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$.

2. Вычитание дробей с разными знаменателями. Дроби приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Формула: $\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D - C \cdot B}{B \cdot D}$.

Ответ: Чтобы вычесть алгебраические дроби, их приводят к общему знаменателю, затем из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют без изменений.

Умножение

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первое произведение становится числителем новой дроби, а второе — её знаменателем.
На практике перед умножением числители и знаменатели раскладывают на множители и сокращают общие множители, если они есть.
Формула: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$.

Ответ: Произведение двух алгебраических дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

Деление

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю). Дробь, обратная данной, получается заменой её числителя на знаменатель, а знаменателя на числитель.
Формула: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$ (при условии, что $C \neq 0$).

Ответ: Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

504. Докажите равенство:

a) $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} $

б) $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} $

а)

Для доказательства равенства $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} $ преобразуем его правую часть.

Правая часть равенства: $ \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} $.

Воспользуемся свойством рациональной дроби, согласно которому знак минус из знаменателя можно вынести перед всей дробью: $ \frac{C}{-D} = -\frac{C}{D} $.

Подставим это преобразование в правую часть исходного выражения:

$ \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} = \frac{A}{B} + \left(-\frac{C}{D}\right) $

Раскрыв скобки, получаем:

$ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} $

Мы получили выражение, которое в точности совпадает с левой частью равенства. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{A}{B} + \frac{C}{-D} $ доказано.

б)

Для доказательства равенства $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} $ преобразуем его правую часть.

Правая часть равенства: $ \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} $.

Используем то же свойство дроби: $ \frac{C}{-D} = -\frac{C}{D} $.

Подставим преобразованное выражение в правую часть исходного равенства:

$ \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} = \frac{A}{B} - \left(-\frac{C}{D}\right) $

Вычитание отрицательной дроби эквивалентно сложению положительной дроби (минус на минус дает плюс):

$ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} $

Полученное выражение совпадает с левой частью равенства. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство $ \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{A}{B} - \frac{C}{-D} $ доказано.

Выполните действия (505–509):

505. а) $\frac{x}{3} + \frac{y}{3}$;

б) $\frac{a}{7} - \frac{b}{7}$;

в) $\frac{2x}{5} - \frac{3y}{5}$;

г) $\frac{5m}{4} + \frac{3n}{4}$;

д) $\frac{x}{4} + \frac{3x}{4}$;

е) $\frac{7a}{8} - \frac{3a}{8}$.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Знаменатель у обеих дробей равен 3.

$\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = \frac{x+y}{3}$

Ответ: $\frac{x+y}{3}$

б) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тем же. Знаменатель у обеих дробей равен 7.

$\frac{a}{7} - \frac{b}{7} = \frac{a-b}{7}$

Ответ: $\frac{a-b}{7}$

в) Выполняем вычитание дробей с одинаковым знаменателем, равным 5. Для этого находим разность их числителей.

$\frac{2x}{5} - \frac{3y}{5} = \frac{2x-3y}{5}$

Ответ: $\frac{2x-3y}{5}$

г) Выполняем сложение дробей с одинаковым знаменателем, равным 4. Для этого находим сумму их числителей.

$\frac{5m}{4} + \frac{3n}{4} = \frac{5m+3n}{4}$

Ответ: $\frac{5m+3n}{4}$

д) Складываем дроби с одинаковым знаменателем 4. В числителе получаются подобные слагаемые, которые можно сложить.

$\frac{x}{4} + \frac{3x}{4} = \frac{x+3x}{4} = \frac{4x}{4}$

Далее сокращаем дробь на 4.

$\frac{4x}{4} = x$

Ответ: $x$

е) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем 8. В числителе получаются подобные слагаемые, которые можно вычесть.

$\frac{7a}{8} - \frac{3a}{8} = \frac{7a-3a}{8} = \frac{4a}{8}$

Сокращаем полученную дробь на 4, так как и числитель, и знаменатель делятся на 4.

$\frac{4a}{8} = \frac{a}{2}$

Ответ: $\frac{a}{2}$