Страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

480. a) Что называют алгебраической дробью? числителем, знаменателем алгебраической дроби? Приведите примеры.

б) Сформулируйте свойства алгебраической дроби.

а) Алгебраической дробью называют выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ являются многочленами. Выражение $A$, которое находится над чертой дроби, называют числителем. Выражение $B$, которое находится под чертой дроби, называют знаменателем. Важным условием является то, что знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Примеры:
1. В дроби $\frac{x+y}{z}$ числителем является выражение $x+y$, а знаменателем — $z$ (дробь имеет смысл при $z \neq 0$).
2. В дроби $\frac{a^2-9}{a+3}$ числитель — это $a^2-9$, а знаменатель — $a+3$ (дробь имеет смысл при $a \neq -3$).
3. В дроби $\frac{7}{b-c}$ числитель — это число $7$ (многочлен нулевой степени), а знаменатель — $b-c$ (дробь имеет смысл при $b \neq c$).
Ответ: Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) — многочлены, причем $B$ не может быть равен нулю. Примеры: $\frac{a+b}{c}$, $\frac{x^2-1}{x+y}$.

б) Свойства алгебраической дроби аналогичны свойствам обыкновенной числовой дроби. Основными являются следующие свойства.
1. Основное свойство алгебраической дроби: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь. В виде формулы это свойство записывается так:
$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ (при условии, что $B \neq 0$ и $C \neq 0$).
Это свойство используется для приведения дробей к новому знаменателю и для сокращения дробей.
2. Свойства, связанные с изменением знака дроби:
- Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то и знак всей дроби изменится на противоположный: $-\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B}$.
- Если изменить знак одновременно и у числителя, и у знаменателя, то значение дроби не изменится: $\frac{A}{B} = \frac{-A}{-B}$.
Ответ: Основное свойство: значение дроби не меняется при умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое выражение ($\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$). Свойство знака: $\frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} = -\frac{A}{B}$ и $\frac{-A}{-B} = \frac{A}{B}$.

481. Является ли данное выражение алгебраической дробью:

а) $7a;$

б) $x + y;$

в) $\frac{x - 2ab}{x^2 + y^2};$

г) $\frac{x}{3a} - 7xy?$

а) Алгебраической дробью называется выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, и $Q$ является многочленом, содержащим переменные. Выражение $7a$ является целым выражением (одночленом), так как оно не содержит деления на переменную. Его можно представить в виде дроби $\frac{7a}{1}$, но знаменатель $1$ является константой, а не многочленом с переменной.
Ответ: нет.

б) Выражение $x + y$ является целым выражением (многочленом). В нем отсутствует операция деления на выражение с переменной. По аналогии с предыдущим пунктом, это выражение не является алгебраической дробью.
Ответ: нет.

в) Выражение $\frac{x-2ab}{x^2+y^2}$ представлено в виде дроби. Числитель $x-2ab$ и знаменатель $x^2+y^2$ являются многочленами. Знаменатель $x^2+y^2$ содержит переменные ($x$ и $y$). Следовательно, данное выражение является алгебраической дробью.
Ответ: да.

г) Выражение $\frac{x}{3a} - 7xy$ содержит слагаемое $\frac{x}{3a}$, которое является алгебраической дробью, так как его знаменатель $3a$ содержит переменную $a$. Все выражение можно представить в виде одной алгебраической дроби, приведя к общему знаменателю:
$\frac{x}{3a} - 7xy = \frac{x}{3a} - \frac{7xy \cdot 3a}{3a} = \frac{x - 21axy}{3a}$.
Так как исходное выражение можно представить в виде частного двух многочленов, где знаменатель содержит переменную, оно является алгебраической дробью.
Ответ: да.

482. Запишите три алгебраические дроби, используя данные выражения:

а) $xy$, $(a - b)$, $3mn^2$;

б) $m^2 - n^2$, $-ab$, $4(x^2 - y)$.

а)

Алгебраическая дробь представляет собой частное от деления двух алгебраических выражений. Чтобы записать три алгебраические дроби, используя данные выражения $xy$, $(a - b)$ и $3mn^2$, мы можем выбрать одно из них в качестве числителя, а другое — в качестве знаменателя. Важно помнить, что знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Можно составить следующие дроби:

1. Взяв $xy$ в качестве числителя и $(a - b)$ в качестве знаменателя, получаем дробь: $\frac{xy}{a - b}$. Условие существования дроби: $a - b \neq 0$, то есть $a \neq b$.

2. Взяв $(a - b)$ в качестве числителя и $3mn^2$ в качестве знаменателя, получаем дробь: $\frac{a - b}{3mn^2}$. Условие существования дроби: $3mn^2 \neq 0$, то есть $m \neq 0$ и $n \neq 0$.

3. Взяв $3mn^2$ в качестве числителя и $xy$ в качестве знаменателя, получаем дробь: $\frac{3mn^2}{xy}$. Условие существования дроби: $xy \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Ответ: $\frac{xy}{a - b}$, $\frac{a - b}{3mn^2}$, $\frac{3mn^2}{xy}$.

б)

Аналогично, для выражений $m^2 - n^2$, $-ab$ и $4(x^2 - y)$ составим три различные алгебраические дроби.

1. Взяв $m^2 - n^2$ в качестве числителя и $-ab$ в качестве знаменателя, получаем дробь: $\frac{m^2 - n^2}{-ab}$. Эту дробь можно записать как $\frac{n^2 - m^2}{ab}$. Условие существования дроби: $-ab \neq 0$, то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

2. Взяв $-ab$ в качестве числителя и $4(x^2 - y)$ в качестве знаменателя, получаем дробь: $\frac{-ab}{4(x^2 - y)}$. Условие существования дроби: $4(x^2 - y) \neq 0$, то есть $x^2 \neq y$.

3. Взяв $4(x^2 - y)$ в качестве числителя и $m^2 - n^2$ в качестве знаменателя, получаем дробь: $\frac{4(x^2 - y)}{m^2 - n^2}$. Условие существования дроби: $m^2 - n^2 \neq 0$, то есть $m \neq n$ и $m \neq -n$.

Ответ: $\frac{m^2 - n^2}{-ab}$, $\frac{-ab}{4(x^2 - y)}$, $\frac{4(x^2 - y)}{m^2 - n^2}$.

483. Запишите алгебраическую дробь в виде многочлена, применив свойства алгебраических дробей:

а) $ \frac{x - 1}{1}; $

б) $ \frac{3x + y}{1}; $

в) $ \frac{x^2 + 3xy - y^2}{1}; $

г) $ \frac{x^2 - 2xy + y^2}{1}; $

д) $ \frac{(x - y)6x}{3x}; $

е) $ \frac{15(x + y)}{5}; $

ж) $ \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x + y}; $

з) $ \frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x - 2y}. $

а)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x-1}{1}$.
Основное свойство дроби гласит, что любое выражение, деленное на 1, равно самому этому выражению.
Поэтому, $\frac{x-1}{1} = x-1$.
Выражение $x-1$ является многочленом.
Ответ: $x-1$.

б)

Дана алгебраическая дробь $\frac{3x+y}{1}$.
Так как знаменатель дроби равен 1, то значение дроби равно её числителю.
Следовательно, $\frac{3x+y}{1} = 3x+y$.
Выражение $3x+y$ является многочленом.
Ответ: $3x+y$.

в)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x^2 + 3xy - y^2}{1}$.
По свойству деления на единицу, дробь равна своему числителю.
Следовательно, $\frac{x^2 + 3xy - y^2}{1} = x^2 + 3xy - y^2$.
Данное выражение уже является многочленом.
Ответ: $x^2 + 3xy - y^2$.

г)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{1}$.
Так как знаменатель равен 1, значение дроби равно её числителю.
Следовательно, $\frac{x^2 - 2xy + y^2}{1} = x^2 - 2xy + y^2$.
Выражение в числителе также является полным квадратом разности $(x-y)^2$.
Ответ: $x^2 - 2xy + y^2$.

д)

Дана алгебраическая дробь $\frac{(x-y)6x}{3x}$.
Чтобы представить дробь в виде многочлена, нужно сократить ее. Для этого найдем общие множители в числителе и знаменателе.
Числитель: $(x-y)6x = (x-y) \cdot 2 \cdot 3x$.
Знаменатель: $3x$.
Общий множитель - $3x$. Сократим на него (при условии, что $x \neq 0$):
$\frac{(x-y) \cdot 2 \cdot 3x}{3x} = 2(x-y)$.
Теперь раскроем скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде:
$2(x-y) = 2x - 2y$.
Ответ: $2x - 2y$.

е)

Дана алгебраическая дробь $\frac{15(x+y)}{5}$.
Сократим числовые коэффициенты в числителе и знаменателе. Общий делитель для 15 и 5 - это 5.
$\frac{15(x+y)}{5} = \frac{3 \cdot 5 \cdot (x+y)}{5}$.
Сократив на 5, получаем:
$3(x+y)$.
Раскроем скобки, чтобы представить выражение в виде многочлена:
$3(x+y) = 3x + 3y$.
Ответ: $3x + 3y$.

ж)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x+y}$.
Заметим, что выражение в числителе $x^2 + 2xy + y^2$ является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.
Таким образом, $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Подставим это в нашу дробь:
$\frac{(x+y)^2}{x+y}$.
Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии, что $x+y \neq 0$):
$\frac{(x+y)(x+y)}{x+y} = x+y$.
Ответ: $x+y$.

з)

Дана алгебраическая дробь $\frac{x^2 - 4xy + 4y^2}{x - 2y}$.
Рассмотрим числитель $x^2 - 4xy + 4y^2$. Это выражение является формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2y$, так как $x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x-2y)^2$.
Заменим числитель на разложенное выражение:
$\frac{(x-2y)^2}{x-2y}$.
Теперь сократим дробь на общий множитель $(x-2y)$ (при условии, что $x-2y \neq 0$):
$\frac{(x-2y)(x-2y)}{x-2y} = x-2y$.
Ответ: $x-2y$.

484. Преобразуйте дробь так, чтобы знак, стоящий перед дробью, изменился на противоположный:

а) $ \frac{1 - a}{a} $;

б) $ -\frac{x}{x - 3} $;

в) $ \frac{x - y}{x + y} $;

г) $ \frac{a^2 + 1}{a - 2} $;

д) $ \frac{a + b}{a^2 + b^2} $;

е) $ -\frac{1}{2x + 3y} $;

ж) $ \frac{-a - b}{x + y} $;

з) $ \frac{-x - y}{-a - b} $.

Основное правило, которое используется для решения этой задачи, заключается в следующем: чтобы изменить знак перед алгебраической дробью, нужно изменить на противоположный знак её числителя или её знаменателя. Математически это можно записать так: $ \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B} $ и $ -\frac{A}{B} = \frac{-A}{B} = \frac{A}{-B} $.

а) Требуется изменить знак перед дробью $ \frac{1-a}{a} $ с положительного на отрицательный. Для этого, согласно правилу, изменим знак числителя дроби:
$ \frac{1-a}{a} = -\frac{-(1-a)}{a} = -\frac{a-1}{a} $
Ответ: $ -\frac{a-1}{a} $

б) Требуется изменить знак перед дробью $ -\frac{x}{x-3} $ с отрицательного на положительный. Для этого внесём знак минуса в знаменатель дроби:
$ -\frac{x}{x-3} = \frac{x}{-(x-3)} = \frac{x}{3-x} $
Ответ: $ \frac{x}{3-x} $

в) Требуется изменить знак перед дробью $ \frac{x-y}{x+y} $ с положительного на отрицательный. Изменим знак числителя:
$ \frac{x-y}{x+y} = -\frac{-(x-y)}{x+y} = -\frac{y-x}{x+y} $
Ответ: $ -\frac{y-x}{x+y} $

г) Требуется изменить знак перед дробью $ \frac{a^2+1}{a-2} $ с положительного на отрицательный. Изменим знак знаменателя для более удобной записи:
$ \frac{a^2+1}{a-2} = -\frac{a^2+1}{-(a-2)} = -\frac{a^2+1}{2-a} $
Ответ: $ -\frac{a^2+1}{2-a} $

д) Требуется изменить знак перед дробью $ \frac{a+b}{a^2+b^2} $ с положительного на отрицательный. Изменим знак числителя:
$ \frac{a+b}{a^2+b^2} = -\frac{-(a+b)}{a^2+b^2} = -\frac{-a-b}{a^2+b^2} $
Ответ: $ -\frac{-a-b}{a^2+b^2} $

е) Требуется изменить знак перед дробью $ -\frac{1}{2x+3y} $ с отрицательного на положительный. Внесём знак минус в знаменатель дроби:
$ -\frac{1}{2x+3y} = \frac{1}{-(2x+3y)} = \frac{1}{-2x-3y} $
Ответ: $ \frac{1}{-2x-3y} $

ж) Требуется изменить знак перед дробью $ \frac{-a-b}{x+y} $ с положительного на отрицательный. Для этого вынесем общий множитель (-1) в числителе за скобки и поставим его перед дробью:
$ \frac{-a-b}{x+y} = \frac{-(a+b)}{x+y} = -\frac{a+b}{x+y} $
Ответ: $ -\frac{a+b}{x+y} $

з) Требуется изменить знак перед дробью $ -\frac{-x-y}{-a-b} $ с отрицательного на положительный. Сначала упростим дробь, вынеся (-1) как в числителе, так и в знаменателе:
$ -\frac{-x-y}{-a-b} = -\frac{-(x+y)}{-(a+b)} = -\frac{x+y}{a+b} $
Теперь, чтобы избавиться от знака "минус" перед дробью, внесём его в числитель:
$ -\frac{x+y}{a+b} = \frac{-(x+y)}{a+b} = \frac{-x-y}{a+b} $
Ответ: $ \frac{-x-y}{a+b} $