Страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Представьте выражение в виде произведения (458–460):

458. а) $(a + b)a + (a + b)c = (a + b)(\dots);$

б) $(a + b)x - (a + b)y = (a + b)(\dots);$

в) $2(a + b) + (a + b)x = (a + b)(\dots);$

г) $x(a + b) - 2(a + b) = (a + b)(\dots);$

д) $2x(a + b) + (a + b) = (a + b)(\dots);$

е) $(a + b)3x - 2y(a + b) = (a + b)(\dots).$

а) В данном выражении $(a + b)a + (a + b)c$ мы видим общий множитель — двучлен $(a + b)$. Чтобы представить выражение в виде произведения, нужно вынести этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого $(a + b)a$ останется множитель $a$, а от второго слагаемого $(a + b)c$ останется множитель $c$. В результате получаем:
$(a + b)a + (a + b)c = (a + b)(a + c)$.
Ответ: $(a + b)(a + c)$.

б) В выражении $(a + b)x - (a + b)y$ общий множитель также $(a + b)$. Выносим его за скобки. От уменьшаемого $(a + b)x$ остается множитель $x$, а от вычитаемого $(a + b)y$ остается множитель $y$. Таким образом, выражение можно записать в виде произведения:
$(a + b)x - (a + b)y = (a + b)(x - y)$.
Ответ: $(a + b)(x - y)$.

в) В выражении $2(a + b) + (a + b)x$ общим множителем является двучлен $(a + b)$. Выносим его за скобки. От первого слагаемого $2(a + b)$ остается множитель $2$, а от второго слагаемого $(a + b)x$ остается множитель $x$. Получаем следующее произведение:
$2(a + b) + (a + b)x = (a + b)(2 + x)$.
Ответ: $(a + b)(2 + x)$.

г) В выражении $x(a + b) - 2(a + b)$ общим множителем является $(a + b)$. Вынося его за скобки, от уменьшаемого $x(a + b)$ получаем $x$, а от вычитаемого $2(a + b)$ получаем $2$. Таким образом, разложение на множители выглядит так:
$x(a + b) - 2(a + b) = (a + b)(x - 2)$.
Ответ: $(a + b)(x - 2)$.

д) В выражении $2x(a + b) + (a + b)$ общий множитель — это $(a + b)$. Второе слагаемое $(a + b)$ можно представить как произведение $1 \cdot (a + b)$. Теперь, вынося общий множитель $(a + b)$ за скобки, от первого слагаемого $2x(a + b)$ останется $2x$, а от второго $1 \cdot (a + b)$ останется $1$. В результате получаем:
$2x(a + b) + (a + b) = (a + b)(2x + 1)$.
Ответ: $(a + b)(2x + 1)$.

е) В выражении $(a + b)3x - 2y(a + b)$ общий множитель — $(a + b)$. Вынесем его за скобки. От уменьшаемого $(a + b)3x$ останется множитель $3x$. От вычитаемого $2y(a + b)$ останется множитель $2y$. Таким образом, выражение в виде произведения будет:
$(a + b)3x - 2y(a + b) = (a + b)(3x - 2y)$.
Ответ: $(a + b)(3x - 2y)$.

459. a) $a(m + n) + (2m + 2n);$

В) $(ma - mb) + (a - b);$

Д) $(3x - 6y) - (2y - x);$

Б) $(3x + 3y) - (ax + ay);$

Г) $(ap - aq) - (bp - bq);$

е) $(ax - bx) + (3b - 3a).$

а)

Дано выражение: $a(m + n) + (2m + 2n)$.

Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки во втором слагаемом $(2m + 2n)$:

$2m + 2n = 2(m + n)$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$a(m + n) + 2(m + n)$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $(m + n)$. Вынесем его за скобки:

$(m + n)(a + 2)$

Ответ: $(m + n)(a + 2)$

б)

Дано выражение: $(3x + 3y) - (ax + ay)$.

В первой скобке $(3x + 3y)$ вынесем общий множитель 3. Во второй скобке $(ax + ay)$ вынесем общий множитель $a$:

$3(x + y) - a(x + y)$

Теперь оба члена выражения имеют общий множитель $(x + y)$. Вынесем его за скобки:

$(x + y)(3 - a)$

Ответ: $(x + y)(3 - a)$

в)

Дано выражение: $(ma - mb) + (a - b)$.

В первой скобке $(ma - mb)$ вынесем общий множитель $m$. Вторую скобку $(a - b)$ можно рассматривать как $1 \cdot (a - b)$:

$m(a - b) + 1(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(m + 1)$

Ответ: $(a - b)(m + 1)$

г)

Дано выражение: $(ap - aq) - (bp - bq)$.

В первой скобке $(ap - aq)$ вынесем общий множитель $a$. Во второй скобке $(bp - bq)$ вынесем общий множитель $b$:

$a(p - q) - b(p - q)$

Вынесем общий множитель $(p - q)$ за скобки:

$(p - q)(a - b)$

Ответ: $(p - q)(a - b)$

д)

Дано выражение: $(3x - 6y) - (2y - x)$.

В первой скобке $(3x - 6y)$ вынесем общий множитель 3. Во второй скобке $(2y - x)$ вынесем за скобки $-1$, чтобы получить выражение, противоположное $(x - 2y)$:

$3(x - 2y) - (-1)(x - 2y)$

Два минуса дают плюс, поэтому выражение упрощается до:

$3(x - 2y) + 1(x - 2y)$

Вынесем общий множитель $(x - 2y)$ за скобки:

$(x - 2y)(3 + 1)$

$4(x - 2y)$

Ответ: $4(x - 2y)$

е)

Дано выражение: $(ax - bx) + (3b - 3a)$.

В первой скобке $(ax - bx)$ вынесем за скобки $x$. Во второй скобке $(3b - 3a)$ вынесем за скобки 3:

$x(a - b) + 3(b - a)$

Обратим внимание, что $(b - a) = -(a - b)$. Вынесем $-1$ во втором слагаемом:

$x(a - b) + 3 \cdot (-1)(a - b)$

$x(a - b) - 3(a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(x - 3)$

Ответ: $(a - b)(x - 3)$

460. а) $a(x + y) + x + y;$

Б) $3(m - n) + bm - bn;$

В) $2ax - bx + 2(b - 2a);$

Г) $(mx - 2m) - 2a + ax;$

Д) $14x - 6y - (7ax - 3ay);$

е) $(10ak - 18ab) - 27cb + 15ck.$

а) Чтобы разложить на множители выражение $a(x + y) + x + y$, сгруппируем последние два слагаемых и вынесем общий множитель за скобки. Выражение $x+y$ можно представить как $1 \cdot (x+y)$.
$a(x + y) + x + y = a(x + y) + 1 \cdot (x + y)$
Теперь мы видим общий множитель $(x+y)$, который можно вынести за скобки:
$(a + 1)(x + y)$
Ответ: $(a + 1)(x + y)$

б) В выражении $3(m - n) + bm - bn$ сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $b$.
$bm - bn = b(m - n)$
Теперь исходное выражение принимает вид:
$3(m - n) + b(m - n)$
Общий множитель $(m - n)$ выносим за скобки:
$(3 + b)(m - n)$
Ответ: $(b + 3)(m - n)$

в) Рассмотрим выражение $2ax - bx + 2(b - 2a)$. Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $x$.
$2ax - bx = x(2a - b)$
Выражение примет вид: $x(2a - b) + 2(b - 2a)$.
Заметим, что $(b - 2a) = -(2a - b)$. Подставим это в выражение:
$x(2a - b) + 2(-(2a - b)) = x(2a - b) - 2(2a - b)$
Теперь вынесем общий множитель $(2a - b)$ за скобки:
$(x - 2)(2a - b)$
Ответ: $(x - 2)(2a - b)$

г) В выражении $(mx - 2m) - 2a + ax$ сгруппируем слагаемые. Сначала сгруппируем первые два члена и последние два члена.
В первой группе $(mx - 2m)$ вынесем общий множитель $m$: $m(x - 2)$.
Во второй группе $-2a + ax$ переставим слагаемые и вынесем общий множитель $a$: $ax - 2a = a(x - 2)$.
Получаем выражение: $m(x - 2) + a(x - 2)$.
Вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:
$(m + a)(x - 2)$
Ответ: $(a + m)(x - 2)$

д) В выражении $14x - 6y - (7ax - 3ay)$ сгруппируем первые два слагаемых и раскроем скобки в последних двух.
$14x - 6y - 7ax + 3ay$
Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:
$(14x - 7ax) + (-6y + 3ay)$
В первой группе вынесем общий множитель $7x$: $7x(2 - a)$.
Во второй группе вынесем общий множитель $-3y$, чтобы получить в скобках $(2-a)$: $-3y(2 - a)$.
Выражение принимает вид: $7x(2 - a) - 3y(2 - a)$.
Вынесем общий множитель $(2 - a)$ за скобки:
$(7x - 3y)(2 - a)$
Ответ: $(2 - a)(7x - 3y)$

е) Разложим на множители выражение $(10ak - 18ab) - 27cb + 15ck$. Сгруппируем слагаемые попарно.
Первая группа: $10ak - 18ab$. Общий множитель $2a$: $2a(5k - 9b)$.
Вторая группа: $-27cb + 15ck$. Переставим слагаемые для удобства $15ck - 27cb$. Общий множитель $3c$: $3c(5k - 9b)$.
Теперь выражение выглядит так: $2a(5k - 9b) + 3c(5k - 9b)$.
Вынесем общий множитель $(5k - 9b)$ за скобки:
$(2a + 3c)(5k - 9b)$
Ответ: $(2a + 3c)(5k - 9b)$

461. Вынесите за скобки общий множитель:

а) $(x + y) + a(x + y) - 2(x + y) = (x + y)(...)$;

б) $m(a - b) - n(b - a) + (3a - 3b) = (a - b)(...)$;

в) $(2m - 6n) + (xm - 3xn) - y(3n - m) = (m - 3n)(...)$;

г) $(6x - 15y) - (5y - 2x) + (2ax - 5ay) = (2x - 5y)(...)$;

д) $(-am - bm) + (3a + 3b) - (x^2a + x^2b) = (a + b)(...).

а) В выражении $(x + y) + a(x + y) - 2(x + y)$ общим множителем для всех слагаемых является $(x + y)$. Вынесем его за скобки. От первого слагаемого $(x + y)$ остаётся множитель 1, от второго $a(x + y)$ остаётся $a$, а от третьего $-2(x + y)$ остаётся $-2$.

$(x + y) + a(x + y) - 2(x + y) = (x + y)(1 + a - 2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$1 + a - 2 = a - 1$

В итоге получаем:

$(x + y)(a - 1)$

Ответ: $(x + y)(a - 1)$.

б) В выражении $m(a - b) - n(b - a) + (3a - 3b)$ необходимо привести все слагаемые к одному общему множителю. Заметим, что $(b - a) = -(a - b)$, а $(3a - 3b) = 3(a - b)$.

Подставим эти преобразования в исходное выражение:

$m(a - b) - n(-(a - b)) + 3(a - b) = m(a - b) + n(a - b) + 3(a - b)$

Теперь общий множитель $(a - b)$ можно вынести за скобки:

$(a - b)(m + n + 3)$

Ответ: $(a - b)(m + n + 3)$.

в) В выражении $(2m - 6n) + (xm - 3xn) - y(3n - m)$ приведем слагаемые к общему множителю. Заметим, что $(2m - 6n) = 2(m - 3n)$, $(xm - 3xn) = x(m - 3n)$ и $(3n - m) = -(m - 3n)$.

Преобразуем исходное выражение:

$2(m - 3n) + x(m - 3n) - y(-(m - 3n)) = 2(m - 3n) + x(m - 3n) + y(m - 3n)$

Вынесем общий множитель $(m - 3n)$ за скобки:

$(m - 3n)(2 + x + y)$

Ответ: $(m - 3n)(2 + x + y)$.

г) В выражении $(6x - 15y) - (5y - 2x) + (2ax - 5ay)$ приведем слагаемые к общему множителю. Заметим, что $(6x - 15y) = 3(2x - 5y)$, $(5y - 2x) = -(2x - 5y)$ и $(2ax - 5ay) = a(2x - 5y)$.

Подставим преобразования в выражение:

$3(2x - 5y) - (-(2x - 5y)) + a(2x - 5y) = 3(2x - 5y) + 1 \cdot (2x - 5y) + a(2x - 5y)$

Вынесем общий множитель $(2x - 5y)$ за скобки:

$(2x - 5y)(3 + 1 + a)$

Упростим выражение во второй скобке:

$3 + 1 + a = 4 + a$

В итоге получаем:

$(2x - 5y)(a + 4)$

Ответ: $(2x - 5y)(a + 4)$.

д) В выражении $(-am - bm) + (3a + 3b) - (x^2a + x^2b)$ приведем слагаемые к общему множителю. В каждой группе слагаемых вынесем общий множитель:

$(-am - bm) = -m(a + b)$

$(3a + 3b) = 3(a + b)$

$-(x^2a + x^2b) = -x^2(a + b)$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$-m(a + b) + 3(a + b) - x^2(a + b)$

Вынесем общий множитель $(a + b)$ за скобки:

$(a + b)(-m + 3 - x^2)$

Для более удобной записи можно переставить слагаемые во второй скобке:

$(a + b)(3 - m - x^2)$

Ответ: $(a + b)(3 - m - x^2)$.

Разложите на множители (462–465):

462. а) $(x + y) + (x + y)^2 + (x + y)^3;$

б) $(3a - 9b) - (a - 3b)^2 + (12b - 4a);$

в) $(-2m - 8n) - (am + 4an) + (5bm + 20bn);$

г) $(4x - y)^2 - (y - 4x) - (20x - 5y).$

а) В выражении $(x + y) + (x + y)^2 + (x + y)^3$ все три слагаемых имеют общий множитель $(x+y)$. Вынесем его за скобки.

$(x+y) \cdot 1 + (x+y) \cdot (x+y) + (x+y) \cdot (x+y)^2 = (x+y)(1 + (x+y) + (x+y)^2)$

Ответ: $(x+y)(1 + (x+y) + (x+y)^2)$

б) В выражении $(3a - 9b) - (a - 3b)^2 + (12b - 4a)$ преобразуем каждое слагаемое, чтобы найти общий множитель.

Первое слагаемое: $3a - 9b = 3(a - 3b)$.

Третье слагаемое: $12b - 4a = -4a + 12b = -4(a - 3b)$.

Теперь выражение можно записать так: $3(a - 3b) - (a - 3b)^2 - 4(a - 3b)$.

Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(3(a - 3b) - 4(a - 3b)) - (a-3b)^2 = -(a-3b) - (a-3b)^2$.

Теперь вынесем за скобки общий множитель $-(a-3b)$:

$-(a-3b)(1+(a-3b)) = -(a-3b)(1+a-3b)$.

Ответ: $-(a-3b)(1+a-3b)$

в) В выражении $(-2m - 8n) - (am + 4an) + (5bm + 20bn)$ вынесем общие множители из каждой группы слагаемых.

$-2(m + 4n) - a(m + 4n) + 5b(m + 4n)$

Теперь видно, что общий множитель для всех слагаемых — это $(m+4n)$. Вынесем его за скобки.

$(m + 4n)(-2 - a + 5b)$

Для более аккуратной записи переставим слагаемые во второй скобке:

$(m + 4n)(5b - a - 2)$

Ответ: $(m + 4n)(5b - a - 2)$

г) В выражении $(4x - y)^2 - (y - 4x) - (20x - 5y)$ также преобразуем слагаемые для нахождения общего множителя.

Обратим внимание, что $y - 4x = -(4x - y)$, поэтому $-(y - 4x) = -(-(4x-y)) = 4x-y$.

Также, $20x - 5y = 5(4x - y)$.

Подставим эти преобразования в исходное выражение:

$(4x - y)^2 + (4x - y) - 5(4x - y)$

Общий множитель $(4x-y)$ выносим за скобки:

$(4x - y)((4x - y) + 1 - 5)$

Упростим выражение во второй скобке: $(4x - y) + 1 - 5 = 4x - y - 4$.

Получаем итоговый результат:

$(4x - y)(4x - y - 4)$

Ответ: $(4x - y)(4x - y - 4)$

463. a) $9a^2 - 4;$

б) $25x^2 - 1;$

в) $\frac{1}{4}m^2 - 16n^2;$

г) $100a^2 - 0.25b^2;$

д) $x^{12} - y^2;$

е) $m^6 - n^6;$

ж) $2\frac{1}{4} - c^4;$

з) $1\frac{9}{16}a^{10} - 0.01b^2;$

и) $x^4 - y^4.$

а) Для разложения выражения $9a^2 - 4$ на множители используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $9a^2 = (3a)^2$ и $4 = 2^2$.
Таким образом, $9a^2 - 4 = (3a)^2 - 2^2$.
Применяя формулу, получаем: $(3a - 2)(3a + 2)$.
Ответ: $(3a - 2)(3a + 2)$.

б) Для разложения выражения $25x^2 - 1$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены выражения в виде квадратов: $25x^2 = (5x)^2$ и $1 = 1^2$.
Следовательно, $25x^2 - 1 = (5x)^2 - 1^2$.
Применяем формулу и получаем: $(5x - 1)(5x + 1)$.
Ответ: $(5x - 1)(5x + 1)$.

в) Выражение $\frac{1}{4}m^2 - 16n^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим каждый член в виде квадрата: $\frac{1}{4}m^2 = (\frac{1}{2}m)^2$ и $16n^2 = (4n)^2$.
Тогда выражение можно записать как $(\frac{1}{2}m)^2 - (4n)^2$.
Разложим на множители: $(\frac{1}{2}m - 4n)(\frac{1}{2}m + 4n)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}m - 4n)(\frac{1}{2}m + 4n)$.

г) Для разложения выражения $100a^2 - 0,25b^2$ на множители используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены выражения как квадраты: $100a^2 = (10a)^2$ и $0,25b^2 = (0,5b)^2$.
Выражение принимает вид $(10a)^2 - (0,5b)^2$.
Применив формулу, получаем: $(10a - 0,5b)(10a + 0,5b)$.
Ответ: $(10a - 0,5b)(10a + 0,5b)$.

д) Выражение $x^{12} - y^2$ раскладывается по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $x^{12}$ как квадрат: $x^{12} = (x^6)^2$. Член $y^2$ уже является квадратом $y$.
Получаем: $(x^6)^2 - y^2$.
Разложение на множители: $(x^6 - y)(x^6 + y)$.
Ответ: $(x^6 - y)(x^6 + y)$.

е) Выражение $m^6 - n^6$ можно разложить, применив формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $m^6 = (m^3)^2$ и $n^6 = (n^3)^2$.
Получаем: $m^6 - n^6 = (m^3)^2 - (n^3)^2 = (m^3 - n^3)(m^3 + n^3)$.
Теперь к каждому из множителей можно применить формулы разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2+AB+B^2)$ и суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$.
$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$
$m^3 + n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$
Окончательное разложение: $(m-n)(m+n)(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)$.
Ответ: $(m-n)(m+n)(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)$.

ж) Для разложения выражения $2\frac{1}{4} - c^4$ на множители сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
Теперь выражение имеет вид $\frac{9}{4} - c^4$. Воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены выражения в виде квадратов: $\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2$ и $c^4 = (c^2)^2$.
Получаем: $(\frac{3}{2})^2 - (c^2)^2$.
Разложим на множители: $(\frac{3}{2} - c^2)(\frac{3}{2} + c^2)$.
Ответ: $(\frac{3}{2} - c^2)(\frac{3}{2} + c^2)$.

з) Сначала преобразуем коэффициенты в выражении $1\frac{9}{16}a^{10} - 0,01b^2$.
Смешанное число $1\frac{9}{16}$ равно неправильной дроби $\frac{25}{16}$.
Выражение принимает вид $\frac{25}{16}a^{10} - 0,01b^2$.
Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены в виде квадратов: $\frac{25}{16}a^{10} = (\frac{5}{4}a^5)^2$ и $0,01b^2 = (0,1b)^2$.
Получаем: $(\frac{5}{4}a^5)^2 - (0,1b)^2$.
Разложим на множители: $(\frac{5}{4}a^5 - 0,1b)(\frac{5}{4}a^5 + 0,1b)$.
Ответ: $(\frac{5}{4}a^5 - 0,1b)(\frac{5}{4}a^5 + 0,1b)$.

и) Выражение $x^4 - y^4$ является разностью квадратов. Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим члены в виде квадратов: $x^4 = (x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$.
$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Заметим, что первый множитель $(x^2 - y^2)$ также является разностью квадратов и может быть разложен дальше: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Множитель $(x^2 + y^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Окончательное разложение: $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.
Ответ: $(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$.

464. а) $4x^2 - 4x + 1;$

б) $9a^2 + 6a + 1;$

в) $-m^2 - 2m - 1;$

г) $6n - n^2 - 9;$

д) $x^4 - 2x^2y + y^2;$

е) $36a^4 - 12a^2b^2 + b^4;$

ж) $\frac{1}{4}m^4 - m^2n^3 + n^6;$

з) $0.01a^6 + 25b^4 - a^3b^2.$

а)

Представим данный трехчлен в виде квадрата разности, используя формулу сокращенного умножения $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Первый член выражения $4x^2$ является квадратом от $2x$, то есть $a = 2x$. Третий член $1$ является квадратом от $1$, то есть $b = 1$. Проверим, соответствует ли средний член $-4x$ удвоенному произведению $2ab$. $2 \cdot (2x) \cdot 1 = 4x$. Таким образом, выражение можно записать как: $4x^2 - 4x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x - 1)^2$.

Ответ: $(2x - 1)^2$.

б)

Представим данный трехчлен в виде квадрата суммы, используя формулу сокращенного умножения $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Первый член $9a^2$ является квадратом от $3a$, то есть $a = 3a$. Третий член $1$ является квадратом от $1$, то есть $b = 1$. Проверим средний член $6a$: $2 \cdot (3a) \cdot 1 = 6a$. Выражение полностью соответствует формуле: $9a^2 + 6a + 1 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a + 1)^2$.

Ответ: $(3a + 1)^2$.

в)

Сначала вынесем знак минус за скобки: $-m^2 - 2m - 1 = -(m^2 + 2m + 1)$. Теперь преобразуем выражение в скобках $m^2 + 2m + 1$ по формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. Здесь $a = m$ и $b = 1$. Средний член $2m = 2 \cdot m \cdot 1$. Таким образом, $m^2 + 2m + 1 = (m + 1)^2$. Следовательно, исходное выражение равно: $-(m^2 + 2m + 1) = -(m + 1)^2$.

Ответ: $-(m + 1)^2$.

г)

Перегруппируем члены многочлена для удобства и вынесем минус за скобки: $6n - n^2 - 9 = -n^2 + 6n - 9 = -(n^2 - 6n + 9)$. Выражение в скобках $n^2 - 6n + 9$ является полным квадратом разности по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Здесь $a = n$ и $b = 3$. Средний член $-6n = -2 \cdot n \cdot 3$. Значит, $n^2 - 6n + 9 = (n - 3)^2$. Итоговое выражение: $-(n^2 - 6n + 9) = -(n - 3)^2$.

Ответ: $-(n - 3)^2$.

д)

Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В выражении $x^4 - 2x^2y^2 + y^4$ первый член $x^4$ можно представить как $(x^2)^2$, то есть $a = x^2$. Третий член $y^4$ можно представить как $(y^2)^2$, то есть $b = y^2$. Проверим средний член: $-2 \cdot (x^2) \cdot (y^2) = -2x^2y^2$. Выражение соответствует формуле: $x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2$.

Ответ: $(x^2 - y^2)^2$.

е)

Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В выражении $36a^4 - 12a^2b^2 + b^4$ первый член $36a^4 = (6a^2)^2$, значит $a = 6a^2$. Третий член $b^4 = (b^2)^2$, значит $b = b^2$. Проверим средний член: $-2 \cdot (6a^2) \cdot (b^2) = -12a^2b^2$. Таким образом, преобразование выглядит так: $36a^4 - 12a^2b^2 + b^4 = (6a^2)^2 - 2 \cdot 6a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = (6a^2 - b^2)^2$.

Ответ: $(6a^2 - b^2)^2$.

ж)

Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В выражении $\frac{1}{4}m^4 - m^2n^3 + n^6$ первый член $\frac{1}{4}m^4 = (\frac{1}{2}m^2)^2$, значит $a = \frac{1}{2}m^2$. Третий член $n^6 = (n^3)^2$, значит $b = n^3$. Проверим средний член: $-2 \cdot (\frac{1}{2}m^2) \cdot (n^3) = -m^2n^3$. Следовательно, выражение является полным квадратом: $\frac{1}{4}m^4 - m^2n^3 + n^6 = (\frac{1}{2}m^2)^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}m^2 \cdot n^3 + (n^3)^2 = (\frac{1}{2}m^2 - n^3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}m^2 - n^3)^2$.

з)

Переставим члены многочлена, чтобы получить стандартный вид: $0,01a^6 - a^3b^2 + 25b^4$. Применим формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Первый член $0,01a^6 = (0,1a^3)^2$, значит $a = 0,1a^3$. Третий член $25b^4 = (5b^2)^2$, значит $b = 5b^2$. Проверим средний член: $-2 \cdot (0,1a^3) \cdot (5b^2) = -2 \cdot 0,5 a^3b^2 = -a^3b^2$. Выражение полностью соответствует формуле: $0,01a^6 - a^3b^2 + 25b^4 = (0,1a^3)^2 - 2 \cdot 0,1a^3 \cdot 5b^2 + (5b^2)^2 = (0,1a^3 - 5b^2)^2$.

Ответ: $(0,1a^3 - 5b^2)^2$.

465. а) $a^3 - 27$;

б) $27 + 8x^3$;

В) $8m^3 - n^3$;

г) $1 + y^6$;

д) $x^9 - 125$;

е) $64a^3 + b^6$;

ж) $\frac{1}{8} - m^{12}$;

з) $\frac{8}{27} + n^3$;

И) $0,125 - 27x^3$.

а) Для разложения на множители выражения $a^3 - 27$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $a^3 - 27 = a^3 - 3^3$.
В данном случае $A = a$ и $B = 3$.
Подставляем значения в формулу: $a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + a \cdot 3 + 3^2) = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
Ответ: $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.

б) Для разложения на множители выражения $27 + 8x^3$ используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $27 + 8x^3 = 3^3 + (2x)^3$.
Здесь $A = 3$ и $B = 2x$.
Подставляем значения в формулу: $3^3 + (2x)^3 = (3 + 2x)(3^2 - 3 \cdot 2x + (2x)^2) = (3 + 2x)(9 - 6x + 4x^2)$.
Ответ: $(3 + 2x)(9 - 6x + 4x^2)$.

в) Для разложения на множители выражения $8m^3 - n^3$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $8m^3 - n^3 = (2m)^3 - n^3$.
Здесь $A = 2m$ и $B = n$.
Подставляем значения в формулу: $(2m)^3 - n^3 = (2m - n)((2m)^2 + 2m \cdot n + n^2) = (2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$.
Ответ: $(2m - n)(4m^2 + 2mn + n^2)$.

г) Для разложения на множители выражения $1 + y^6$ используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим $y^6$ как $(y^2)^3$. Тогда выражение примет вид: $1 + y^6 = 1^3 + (y^2)^3$.
Здесь $A = 1$ и $B = y^2$.
Подставляем значения в формулу: $1^3 + (y^2)^3 = (1 + y^2)(1^2 - 1 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (1 + y^2)(1 - y^2 + y^4)$.
Ответ: $(1 + y^2)(1 - y^2 + y^4)$.

д) Для разложения на множители выражения $x^9 - 125$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $x^9 - 125 = (x^3)^3 - 5^3$.
Здесь $A = x^3$ и $B = 5$.
Подставляем значения в формулу: $(x^3)^3 - 5^3 = (x^3 - 5)((x^3)^2 + x^3 \cdot 5 + 5^2) = (x^3 - 5)(x^6 + 5x^3 + 25)$.
Ответ: $(x^3 - 5)(x^6 + 5x^3 + 25)$.

е) Для разложения на множители выражения $64a^3 + b^6$ используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $64a^3 + b^6 = (4a)^3 + (b^2)^3$.
Здесь $A = 4a$ и $B = b^2$.
Подставляем значения в формулу: $(4a)^3 + (b^2)^3 = (4a + b^2)((4a)^2 - 4a \cdot b^2 + (b^2)^2) = (4a + b^2)(16a^2 - 4ab^2 + b^4)$.
Ответ: $(4a + b^2)(16a^2 - 4ab^2 + b^4)$.

ж) Для разложения на множители выражения $\frac{1}{8} - m^{12}$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $\frac{1}{8} - m^{12} = (\frac{1}{2})^3 - (m^4)^3$.
Здесь $A = \frac{1}{2}$ и $B = m^4$.
Подставляем значения в формулу: $(\frac{1}{2})^3 - (m^4)^3 = (\frac{1}{2} - m^4)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot m^4 + (m^4)^2) = (\frac{1}{2} - m^4)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}m^4 + m^8)$.
Ответ: $(\frac{1}{2} - m^4)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}m^4 + m^8)$.

з) Для разложения на множители выражения $\frac{8}{27} + n^3$ используем формулу суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $\frac{8}{27} + n^3 = (\frac{2}{3})^3 + n^3$.
Здесь $A = \frac{2}{3}$ и $B = n$.
Подставляем значения в формулу: $(\frac{2}{3})^3 + n^3 = (\frac{2}{3} + n)((\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} \cdot n + n^2) = (\frac{2}{3} + n)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}n + n^2)$.
Ответ: $(\frac{2}{3} + n)(\frac{4}{9} - \frac{2}{3}n + n^2)$.

и) Для разложения на множители выражения $0,125 - 27x^3$ используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $0,125 - 27x^3 = 0,5^3 - (3x)^3$.
Здесь $A = 0,5$ и $B = 3x$.
Подставляем значения в формулу: $0,5^3 - (3x)^3 = (0,5 - 3x)(0,5^2 + 0,5 \cdot 3x + (3x)^2) = (0,5 - 3x)(0,25 + 1,5x + 9x^2)$.
Ответ: $(0,5 - 3x)(0,25 + 1,5x + 9x^2)$.

466. Вычислите, предварительно разложив выражение на множители:

а) $4^2 - 3^2$;

б) $24^2 - 23^2$;

в) $17^2 - 3^2$;

г) $87^2 - 13^2$;

д) $19^2 + 2 \cdot 19 + 1$;

е) $37^2 - 2 \cdot 37 \cdot 7 + 49$;

ж) $46^2 + 16^2 - 46 \cdot 32$;

з) $53^2 + 53 \cdot 34 + 17^2$.

а) Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = 4$ и $b = 3$.

$4^2 - 3^2 = (4 - 3)(4 + 3) = 1 \cdot 7 = 7$.

Ответ: 7.

б) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 24$ и $b = 23$.

$24^2 - 23^2 = (24 - 23)(24 + 23) = 1 \cdot 47 = 47$.

Ответ: 47.

в) Снова используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В этом выражении $a = 17$ и $b = 3$.

$17^2 - 3^2 = (17 - 3)(17 + 3) = 14 \cdot 20 = 280$.

Ответ: 280.

г) Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Здесь $a = 87$ и $b = 13$.

$87^2 - 13^2 = (87 - 13)(87 + 13) = 74 \cdot 100 = 7400$.

Ответ: 7400.

д) Выражение $19^2 + 2 \cdot 19 + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Здесь $a = 19$ и $b = 1$, так как $1 = 1^2$.

$19^2 + 2 \cdot 19 \cdot 1 + 1^2 = (19 + 1)^2 = 20^2 = 400$.

Ответ: 400.

е) Выражение $37^2 - 2 \cdot 37 \cdot 7 + 49$ соответствует формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

В данном случае $a = 37$ и $b = 7$, так как $49 = 7^2$.

$37^2 - 2 \cdot 37 \cdot 7 + 7^2 = (37 - 7)^2 = 30^2 = 900$.

Ответ: 900.

ж) Перегруппируем слагаемые: $46^2 - 46 \cdot 32 + 16^2$. Это выражение можно привести к формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Здесь $a = 46$ и $b = 16$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 46 \cdot 16 = 46 \cdot 32$. Он совпадает с данным в выражении.

$46^2 - 2 \cdot 46 \cdot 16 + 16^2 = (46 - 16)^2 = 30^2 = 900$.

Ответ: 900.

з) Выражение $53^2 + 53 \cdot 34 + 17^2$ можно привести к формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Здесь $a = 53$ и $b = 17$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 53 \cdot 17 = 53 \cdot 34$. Он совпадает.

$53^2 + 2 \cdot 53 \cdot 17 + 17^2 = (53 + 17)^2 = 70^2 = 4900$.

Ответ: 4900.